Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости \( y + 2z = 0 \) и пересекающей прямые: $$ L_1: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 4t \end{cases} \quad \text{и} \quad L_2: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 4 + 2t \\ z = 1 \end{cases}. $$ Система координат аффинная.

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости \( y + 2z = 0 \) и пересекающей прямые: $$ L_1: \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = 4t \end{cases} \quad \text{и} \quad L_2: \begin{cases} x = 2 - t \\ y = 4 + 2t \\ z = 1 \end{cases}. $$ Система координат аффинная.

Искомая прямая должна лежать в плоскости \( y + 2z = 0 \) и пересекать прямые \( L_1 \) и \( L_2 \). Обозначим точки пересечения: на \( L_1 \) — точка \( A \), на \( L_2 \) — точка \( B \). Так как эти точки принадлежат искомой прямой, а прямая лежит в плоскости, то точки \( A \) и \( B \) также должны удовлетворять уравнению плоскости.

Найдём точку пересечения с \( L_1 \). Пусть \( A \) соответствует параметру \( t_1 \) на \( L_1 \): $$ A(1 - t_1,\; t_1,\; 4t_1). $$ Подставим координаты в уравнение плоскости: $$ t_1 + 2 \cdot 4t_1 = 9t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = 0. $$ Следовательно, \( A(1, 0, 0) \).

Найдём точку пересечения с \( L_2 \). Пусть \( B \) соответствует параметру \( t_2 \) на \( L_2 \): $$ B(2 - t_2,\; 4 + 2t_2,\; 1). $$ Подставим в уравнение плоскости: $$ (4 + 2t_2) + 2 \cdot 1 = 6 + 2t_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_2 = -3. $$ Тогда \( B(5, -2, 1) \).

Искомая прямая проходит через точки \( A \) и \( B \). Направляющий вектор: $$ \overrightarrow{AB} = (5-1,\; -2-0,\; 1-0) = (4, -2, 1). $$

Уравнения прямой, проходящей через точку \( A(1,0,0) \) с направляющим вектором \( (4, -2, 1) \): В канонической форме: $$ \frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}. $$ В параметрической форме: $$ \begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}. $$ Прямая лежит в плоскости \( y + 2z = 0 \), так как для любых \( t \): \( y + 2z = -2t + 2t = 0 \).

Уравнения искомой прямой: $$ \boxed{\frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}} $$ или в параметрическом виде: $$ \boxed{\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}} $$

Уравнения искомой прямой: $$ \boxed{\frac{x-1}{4} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{1}} $$ или в параметрическом виде: $$ \boxed{\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}} $$