1) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым: $$ \frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \quad \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1} $$ и найти расстояние $d$ между этими прямыми.

2) Найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми.

Даны две прямые: $$L_1: \frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}$$ $$L_2: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1}$$

Решение:

Запишем прямые в параметрическом виде: $$L_1: \begin{cases} x = 1 + 8t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + t \end{cases}$$ $$L_2: \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = -2s \\ z = -1 + s \end{cases}$$

На первой прямой возьмём точку $P$ с параметром $t$, на второй — точку $Q$ с параметром $s$: $$P(1+8t,\; 2+4t,\; 3+t), \quad Q(1+2s,\; -2s,\; -1+s).$$

Вектор $\overrightarrow{PQ}$: $$\overrightarrow{PQ} = \bigl( 2s - 8t,\; -2s - 4t - 2,\; s - t - 4 \bigr).$$

Направляющие векторы прямых: $$\mathbf{a}_1 = (8,4,1), \quad \mathbf{a}_2 = (2,-2,1).$$

Условие перпендикулярности $\overrightarrow{PQ}$ к обоим направляющим векторам: $$\begin{cases} (\overrightarrow{PQ} \cdot \mathbf{a}_1) = 0 \\ (\overrightarrow{PQ} \cdot \mathbf{a}_2) = 0 \end{cases}$$

Распишем скалярные произведения: $$\begin{cases} (2s-8t)\cdot 8 + (-2s-4t-2)\cdot 4 + (s-t-4)\cdot 1 = 0 \\ (2s-8t)\cdot 2 + (-2s-4t-2)\cdot (-2) + (s-t-4)\cdot 1 = 0 \end{cases}$$

Упростим: $$\begin{cases} 16s - 64t -8s -16t -8 + s - t -4 = 0 \\ 4s -16t +4s +8t +4 + s - t -4 = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 9s - 81t - 12 = 0 \\ 9s - 9t = 0 \end{cases}$$

Из второго уравнения $s = t$, подставим в первое: $$9t - 81t - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad -72t = 12 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{1}{6}, \; s = -\frac{1}{6}.$$

Координаты точек $P$ и $Q$: $$P:\; x = 1 + 8\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{3}, \; y = 2 + 4\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{4}{3}, \; z = 3 - \frac{1}{6} = \frac{17}{6}.$$ $$Q:\; x = 1 + 2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3}, \; y = -2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3}, \; z = -1 - \frac{1}{6} = -\frac{7}{6}.$$

Вектор $\overrightarrow{PQ}$: $$\overrightarrow{PQ} = \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3},\; \frac{1}{3} - \frac{4}{3},\; -\frac{7}{6} - \frac{17}{6} \right) = \bigl( 1,\; -1,\; -4 \bigr).$$

Уравнение общего перпендикуляра (проходит через $P$ и $Q$): $$\frac{x + \frac{1}{3}}{1} = \frac{y - \frac{4}{3}}{-1} = \frac{z - \frac{17}{6}}{-4}.$$

Можно избавиться от дробей, умножив каждое отношение на 6: $$\frac{6x + 2}{6} = \frac{-6y + 8}{-6} = \frac{-6z + 17}{-24}.$$

Расстояние $d$ между прямыми: $$d = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$

Ответ:

Точка пересечения с $L_1$: $$P\left( -\frac{1}{3},\; \frac{4}{3},\; \frac{17}{6} \right).$$

Точка пересечения с $L_2$: $$Q\left( \frac{2}{3},\; \frac{1}{3},\; -\frac{7}{6} \right).$$