Через линию пересечения плоскостей $$ x + 5y + z = 0 \quad \text{и} \quad x - z + 4 = 0 $$ провести плоскость, образующую угол $\frac{\pi}{4}$ с плоскостью $$ x - 4y - 8z + 12 = 0. $$

Искомую плоскость будем искать в виде пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения заданных плоскостей:

$$ (x + 5y + z) + \lambda (x - z + 4) = 0. $$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$ (1+\lambda)x + 5y + (1-\lambda)z + 4\lambda = 0. $$

Таким образом, нормальный вектор искомой плоскости: $$ \mathbf{n}_1 = (1+\lambda,\; 5,\; 1-\lambda). $$

Нормальный вектор заданной плоскости: $$ \mathbf{n}_2 = (1,\; -4,\; -8). $$

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами (или его дополнению до $180^\circ$, но берём острый угол). Поэтому:

$$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1| \cdot |\mathbf{n}_2|} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Вычислим скалярное произведение: $$ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (1+\lambda)\cdot 1 + 5\cdot(-4) + (1-\lambda)\cdot(-8) = 1+\lambda -20 -8 + 8\lambda = 9\lambda - 27. $$

Модуль: $$ |\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2| = |9\lambda - 27| = 9|\lambda - 3|. $$

Длины векторов: $$ |\mathbf{n}_1| = \sqrt{(1+\lambda)^2 + 5^2 + (1-\lambda)^2} = \sqrt{2\lambda^2 + 27}. $$ $$ |\mathbf{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{81} = 9. $$

Подставим в формулу для косинуса:

$$ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9|\lambda - 3|}{9 \sqrt{2\lambda^2 + 27}} = \frac{|\lambda - 3|}{\sqrt{2\lambda^2 + 27}}. $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ \frac{1}{2} = \frac{(\lambda - 3)^2}{2\lambda^2 + 27}. $$

Решаем полученное уравнение:

$$ 2\lambda^2 + 27 = 2(\lambda - 3)^2, $$ $$ 2\lambda^2 + 27 = 2(\lambda^2 - 6\lambda + 9), $$ $$ 2\lambda^2 + 27 = 2\lambda^2 - 12\lambda + 18, $$ $$ 27 = -12\lambda + 18, $$ $$ 12\lambda = -9, $$ $$ \lambda = -\frac{3}{4}. $$

Подставляем найденное $\lambda$ в уравнение искомой плоскости:

$$ (1 - \frac{3}{4})x + 5y + (1 + \frac{3}{4})z + 4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = 0, $$ $$ \frac{1}{4}x + 5y + \frac{7}{4}z - 3 = 0. $$

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$ x + 20y + 7z - 12 = 0. $$

Уравнение искомой плоскости: $$ x + 20y + 7z - 12 = 0. $$ ```