46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

a) \[\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix};\]

б) \[\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\sqrt{2} \\ 1 & 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.\]

Матрица \(A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}\) симметрична и ортогональна, поэтому \(A^2=I\). Собственные значения: \(\lambda=1\) (кратность 2) и \(\lambda=-1\) (кратность 1). Найдём ортонормированный базис из собственных векторов.

Для \(\lambda=1\): ядро \(A-I\) даёт векторы \((2,1,0)\) и \((-1,0,1)\). Ортогонализуем: \[ e_1 = \frac{(2,1,0)}{\sqrt{5}} = \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right), \] \[ e_2 = \frac{(-1,0,1) - \bigl((-1,0,1)\cdot e_1\bigr)e_1}{\| \cdots \|} = \frac{(-1,2,5)}{\sqrt{30}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}}\right). \]

Для \(\lambda=-1\): собственный вектор \((1,-2,1)\), нормируем: \[ e_3 = \frac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right). \]

Базис \(\{e_1,e_2,e_3\}\) ортонормирован, матрица оператора в нём: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Матрица \(B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1&-\sqrt{2}\\1&1&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&-\sqrt{2}&0\end{pmatrix}\) ортогональна, \(\det B =1\). Собственное значение \(\lambda=1\): решая \((B-I)x=0\), находим \(x=(1,1,0)\). Нормируем: \[ e_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right). \]

Ортогональное дополнение \(\langle e_1\rangle^\perp\) задаётся условием \(x+y=0\). Выберем в нём ортонормированный базис, на котором \(B\) действует как поворот на \(90^\circ\): \[ f_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right), \qquad f_2 = (0,0,1). \]

Проверка: \[ B f_1 = f_2,\quad B f_2 = -f_1. \]

Базис \(\{e_1,f_1,f_2\}\) ортонормирован. Матрица оператора в этом базисе: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Это канонический вид (блок \(1\) и блок поворота на \(90^\circ\)).

46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

b) \[ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}. \]

Матрица \(A = \frac{1}{3} M\), где \(M = \begin{pmatrix}2&-1&2\\2&2&-1\\-1&2&2\end{pmatrix}\). Проверим ортогональность:

\[ M^T M = 9I \quad\Rightarrow\quad A^T A = I. \]

Определитель \(\det M = 27\) (вычисляется непосредственно), поэтому \(\det A = 1\). Следовательно, \(A\) — ортогональный оператор с определителем \(1\), т.е. поворот в \(\mathbb{R}^3\).

Собственный вектор: из \((A - I)x = 0\) получаем \(x = (1,1,1)\). Нормируем:

\[ e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1). \]

Выберем произвольный ортонормированный базис в этой плоскости. Удобно взять:

\[ e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0), \qquad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2). \]

Проверка: \((e_2, e_1)=0\), \((e_3, e_1)=0\), \((e_2, e_3)=0\), и \(\|e_2\|=\|e_3\|=1\).

Вычислим \(A e_2\):

\[ M e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} M(1,-1,0) = \frac{1}{\sqrt{2}}(3,0,-3) = \frac{3}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \] \[ A e_2 = \frac{1}{3} M e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1). \]

Разложим по базису \(\{e_2, e_3\}\):

\[ \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) = \cos\varphi\, e_2 + \sin\varphi\, e_3. \]

Находим коэффициенты:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), e_2\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(1\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot0) = \frac12, \] \[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), e_3\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1\cdot1 + 0\cdot1 + (-1)\cdot(-2)) = \frac{1}{\sqrt{12}}(1+2) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Таким образом, \(\cos\varphi = \frac12\), \(\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}\), т.е. \(\varphi = \frac{\pi}{3}\). Аналогично можно проверить, что \(A e_3 = -\sin\varphi\, e_2 + \cos\varphi\, e_3\).

Ортонормированный канонический базис:

\[ e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1),\quad e_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0),\quad e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2). \]

В этом базисе матрица оператора имеет вид:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ 0 & \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac12 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \end{pmatrix}. \]

Это и есть искомый канонический вид.