Задача 44.4

Найти оператор, сопряжённый к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей.

Рассмотрим проектор $P:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, который проецирует на ось $x$ (прямая $y=0$) вдоль направления биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. вдоль вектора $(1,1)$. Для произвольного вектора $(x,y)$ его разложение: \[ (x,y) = (x-y,\,0) + (y,\,y), \] где первое слагаемое лежит на оси $x$, второе – на прямой $y=x$. Следовательно, \[ P(x,y) = (x-y,\,0). \] В стандартном базисе $\{e_1=(1,0),\,e_2=(0,1)\}$ матрица оператора $P$ имеет вид: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Сопряжённый оператор $P^*$ (относительно стандартного скалярного произведения) задаётся транспонированной матрицей: \[ P^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \] Действие $P^*$ на вектор $(x,y)$: \[ P^*(x,y) = (x,\,-x). \] Образ $P^*$ – прямая $y=-x$ (векторы вида $(t,-t)$). Ядро $P^*$ – ось $y$ (векторы $(0,y)$). При этом $P^*$ идемпотентна: $(P^*)^2 = P^*$. Таким образом, $P^*$ является проектором на прямую $y=-x$ параллельно оси ординат.

Ответ: сопряжённый оператор – проектирование на прямую $y=-x$ параллельно оси $y$.