Задача 44.31

Доказать, что всякий оператор $A$ в евклидовом пространстве $V$ кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого $x\in V$ векторы $x$ и $Ax$ ортогональны, то есть $\langle Ax,x\rangle=0$ для всех $x\in V$.

Напомним: оператор $A$ называется кососимметрическим, если $A^*=-A$, где $A^*$ — сопряжённый оператор (в евклидовом пространстве — транспонированная матрица).

Необходимость ($\Rightarrow$). Пусть $A$ кососимметричен: $A^*=-A$. Тогда для любого $x\in V$: \[ \langle Ax,x\rangle = \langle x,A^*x\rangle = \langle x,-Ax\rangle = -\langle Ax,x\rangle. \] Отсюда $2\langle Ax,x\rangle=0$, следовательно $\langle Ax,x\rangle=0$.

Достаточность ($\Leftarrow$). Пусть для всех $x\in V$ выполнено $\langle Ax,x\rangle=0$. Возьмём произвольные $x,y\in V$ и рассмотрим вектор $x+y$: \[ \langle A(x+y),\,x+y\rangle = 0. \] Раскрывая линейность: \[ \langle Ax,x\rangle + \langle Ax,y\rangle + \langle Ay,x\rangle + \langle Ay,y\rangle = 0. \] По условию $\langle Ax,x\rangle=0$ и $\langle Ay,y\rangle=0$, поэтому остаётся: \[ \langle Ax,y\rangle + \langle Ay,x\rangle = 0 \quad\Longrightarrow\quad \langle Ax,y\rangle = -\langle Ay,x\rangle. \] Но $\langle Ay,x\rangle = \langle y,A^*x\rangle$ по определению сопряжённого оператора. Следовательно, \[ \langle Ax,y\rangle = -\langle y,A^*x\rangle = -\langle A^*x,y\rangle \quad \forall y. \] Поскольку это равенство справедливо для всех $y$, получаем $Ax = -A^*x$ для каждого $x$, то есть $A = -A^*$, что и означает кососимметричность оператора $A$.

Таким образом, свойство $\langle Ax,x\rangle=0$ для всех $x$ равносильно кососимметричности $A$.