Найти матрицу $X$ из уравнения:

а) $\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}$;

б) $X\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{pmatrix}$;

в) $\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}X\begin{pmatrix}-3&2\\5&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix}$.

а) Уравнение вида $AX=B$. Умножая слева на $A^{-1}$, получаем $X=A^{-1}B$.

$\det A=2\cdot3-5\cdot1=1$, по формуле из задачи 410(б) $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}$. $$X=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12-10&-18-5\\-4+4&6+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}.$$ Проверка: $\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-46+40\\2&-23+24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}$.

б) Уравнение вида $XA=B$. Умножая справа на $A^{-1}$, получаем $X=BA^{-1}$ (порядок множителей важен!).

Определитель (разложение по третьему столбцу): $$\det A=(-1)\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=(-1)(-3)+(-1)=2.$$ Алгебраические дополнения: $$A_{11}=1,\ A_{12}=-2,\ A_{13}=-3;\qquad A_{21}=0,\ A_{22}=2,\ A_{23}=2;\qquad A_{31}=1,\ A_{32}=-2,\ A_{33}=-1.$$ Присоединённая матрица — транспонированная матрица из дополнений: $$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&2&-2\\-3&2&-1\end{pmatrix}.$$ Тогда $$X=\frac12\begin{pmatrix}1&-1&3\\4&3&2\\1&-2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&2&-2\\-3&2&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}-6&4&0\\-8&10&-4\\-10&6&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2&0\\-4&5&-2\\-5&3&0\end{pmatrix}.$$ Проверка первой строки: $(-3,2,0)\cdot A=(-3+4,\ -3+2,\ 3+0)=(1,-1,3)$.

Пункт в) — уравнение вида $AXB=C$, откуда $X=A^{-1}CB^{-1}$ (самостоятельно).

а) $\begin{pmatrix}2&-23\\0&8\end{pmatrix}$; б) $\begin{pmatrix}-3&2&0\\-4&5&-2\\-5&3&0\end{pmatrix}$.