Обратить матрицы:

а) $\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$; б) $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$; в) $\begin{pmatrix}1&2&-3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$; г) $\begin{pmatrix}1&3&-5&7\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}$;

д) $\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$; е) $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$.

(В задачнике пункты обозначены a)–f).)

Пункты а) и б) решаем по определению: ищем матрицу $X$ с $AX=E$.

а) Пусть $X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}$. Тогда $$\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2z&y+2t\\2x+5z&2y+5t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$ Получаем две системы — для первого и для второго столбца $X$: $$\begin{cases}x+2z=1\\2x+5z=0\end{cases}\Rightarrow z=-2,\ x=5;\qquad\begin{cases}y+2t=0\\2y+5t=1\end{cases}\Rightarrow t=1,\ y=-2.$$ Итак, $A^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}$. Проверка: $\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-4&-2+2\\10-10&-4+5\end{pmatrix}=E$.

б) Те же системы в общем виде: $$\begin{cases}ax+bz=1\\cx+dz=0\end{cases}\qquad\begin{cases}ay+bt=0\\cy+dt=1\end{cases}$$ Определитель обеих систем равен $\Delta=ad-bc$. Если $\Delta\ne0$, то по правилу Крамера $$x=\frac d\Delta,\quad z=-\frac c\Delta,\quad y=-\frac b\Delta,\quad t=\frac a\Delta,$$ то есть $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$ Правило: элементы главной диагонали меняются местами, у элементов побочной меняется знак, всё делится на определитель. Если $ad-bc=0$, обратной матрицы нет.

Пункт а) — частный случай: $\Delta=1\cdot5-2\cdot2=1$.

Пункты г) и е) решаем методом элементарных преобразований: приписываем справа единичную матрицу и преобразованиями строк приводим левую половину $(A\mid E)$ к единичной; справа получается $A^{-1}$ (обоснование — задача 414).

г) Матрица верхнетреугольная с единицами на диагонали, поэтому нужен только обратный ход. $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&3&-5&7&1&0&0&0\\0&1&2&-3&0&1&0&0\\0&0&1&2&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$ Обнуляем 4-й столбец: из 3-й строки вычитаем $2\cdot$(4-ю), ко 2-й прибавляем $3\cdot$(4-ю), из 1-й вычитаем $7\cdot$(4-ю): $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&3&-5&0&1&0&0&-7\\0&1&2&0&0&1&0&3\\0&0&1&0&0&0&1&-2\\0&0&0&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$ Обнуляем 3-й столбец: из 2-й строки вычитаем $2\cdot$(3-ю), к 1-й прибавляем $5\cdot$(3-ю): $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&3&0&0&1&0&5&-17\\0&1&0&0&0&1&-2&7\\0&0&1&0&0&0&1&-2\\0&0&0&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$ Из 1-й строки вычитаем $3\cdot$(2-ю): $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&0&0&0&1&-3&11&-38\\0&1&0&0&0&1&-2&7\\0&0&1&0&0&0&1&-2\\0&0&0&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$

е) Вычитаем первую строку из остальных: $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\0&0&-2&-2&-1&1&0&0\\0&-2&0&-2&-1&0&1&0\\0&-2&-2&0&-1&0&0&1\end{array}\right)$$ Меняем местами 2-ю и 3-ю строки, затем из 4-й вычитаем новую 2-ю и новую 3-ю: $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&1&1&1&1&0&0&0\\0&-2&0&-2&-1&0&1&0\\0&0&-2&-2&-1&1&0&0\\0&0&0&4&1&-1&-1&1\end{array}\right)$$ Делим 2-ю и 3-ю строки на $-2$, 4-ю на $4$; затем из 2-й и 3-й вычитаем 4-ю, а из 1-й — 2-ю, 3-ю и 4-ю: $$\left(\begin{array}{cccc|cccc}1&0&0&0&\frac14&\frac14&\frac14&\frac14\\0&1&0&0&\frac14&\frac14&-\frac14&-\frac14\\0&0&1&0&\frac14&-\frac14&\frac14&-\frac14\\0&0&0&1&\frac14&-\frac14&-\frac14&\frac14\end{array}\right)$$ Получилось $A^{-1}=\frac14A$. Это можно увидеть и сразу: строки $A$ попарно ортогональны, скалярный квадрат каждой равен $4$, матрица симметрична, поэтому $A\cdot A=AA^{\mathsf T}=4E$.

Пункты в) и д) — для самостоятельного решения (ответы ниже).

а) $\begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}$; б) $\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ при $ad-bc\ne0$;

в) $\begin{pmatrix}1&-2&7\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$; г) $\begin{pmatrix}1&-3&11&-38\\0&1&-2&7\\0&0&1&-2\\0&0&0&1\end{pmatrix}$; д) $\begin{pmatrix}1&-4&-3\\1&-5&-3\\-1&6&4\end{pmatrix}$; е) $\dfrac14\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$.