Используя жорданову форму и задачи 17.7-17.9, вычислить:

$$A^{50}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)^{50}.$$

Характеристический многочлен

$$|A-\lambda E|=\lambda^{2}-4\lambda+4=(\lambda-2)^{2}.$$

используя выражение для вырожденного корня

$$f\left(A\right)=f\left(\lambda\right)E+f'\left(\lambda\right)\left(A-\lambda E\right).$$

$$A^{50}=2^{50}E+50\cdot2^{49}\left(A-\lambda E\right)=2^{50}\left(E+25\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)-2E\right)\right)=$$

$$2^{50}\left(E+25\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\right)=2^{50}\left(\begin{array}{cc} -24 & 25\\ -25 & 26 \end{array}\right).$$

$$A^{64}=\left(\begin{array}{cc} 7 & -4\\ 14 & -8 \end{array}\right)^{64}.$$

Характеристический многочлен

$$|A-\lambda E|=\lambda^{2}+\lambda=\lambda(\lambda+1).$$

используя выражение

$$f\left(A\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(A-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(A-\lambda_{1}E\right).$$

$$A^{64}=-\left(-1\right)^{64}\left(\begin{array}{cc} 7 & -4\\ 14 & -8 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -7 & 4\\ -14 & 8 \end{array}\right).$$