Задача 40.29

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]

\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 & 2 \\ 2 & -\lambda & 2 \\ -1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 8\lambda + 4 = -(\lambda-1)(\lambda-2)^2. \]

Собственные значения: \(\lambda_1 = 1\) (простое), \(\lambda_2 = 2\) (кратности 2).

* Для \(\lambda = 1\): Решаем \((A - I)v = 0\): \[ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_2,\\ x_2 + 2x_3 = 0. \end{cases} \] Собственный вектор: \(v_1 = (2,2,-1)\). \(E_1 = \operatorname{span}\{(2,2,-1)\}\) – одномерное подпространство.

* Для \(\lambda = 2\): Решаем \((A - 2I)v = 0\): \[ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow x_1 - x_2 + x_3 = 0. \] \(E_2 = \{(x_1,x_2,x_3) \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0\}\) – двумерное подпространство. Базис: \(e_1 = (1,1,0)\), \(e_2 = (0,1,1)\).

Так как геометрическая кратность \(\lambda=2\) равна алгебраической, оператор диагонализируем. На \(E_2\) он действует как умножение на 2, поэтому любое подпространство в \(E_2\) инвариантно.

Пусть \(V = \mathbb{R}^3\). Инвариантные подпространства относительно \(A\):

* Тривиальное: \(\{0\}\). * Одномерные:

1. прямая \(E_1 = \operatorname{span}\{(2,2,-1)\}\) (собственное значение 1);
2. любая прямая, лежащая в \(E_2\) (собственное значение 2).

То есть все прямые, порождённые ненулевым вектором, удовлетворяющим \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\). * Двумерные:

1. само подпространство \(E_2\) (плоскость \(x_1 - x_2 + x_3 = 0\));
2. любая плоскость, содержащая прямую \(E_1\) и какую-либо прямую из \(E_2\) (т.е. \(E_1 \oplus L\), где \(L\) – одномерное подпространство в \(E_2\)).

В параметрическом виде: \(\operatorname{span}\{(2,2,-1),\, v\}\), где \(v \in E_2\), \(v \neq 0\). * Трёхмерное: всё пространство \(V\).

Все инвариантные подпространства оператора с матрицей \(A\):

1. \(\{0\}\); 2. одномерные: \(\langle (2,2,-1) \rangle\) и \(\langle (a,b,c) \rangle\) для любого \((a,b,c) \neq 0\) с \(a - b + c = 0\); 3. двумерные: \(E_2 = \{(x,y,z) \mid x - y + z = 0\}\) и плоскости \(\langle (2,2,-1),\, v \rangle\) для любого ненулевого \(v \in E_2\); 4. всё пространство \(\mathbb{R}^3\).