Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем $\mathbb{R}$ или над полем $\mathbb{C}$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -1\\ -3 & 5 & -1\\ -3 & 3 & 1 \end{array}\right)$$

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4$$

первый корень $\lambda=1$ легко угадывается. Разделим многочлены воспользовавшись схемой Горнера

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & -5 & 8 & -4\\ \hline 1 & 1 & -4 & 4 & 0 \end{array}$$

Тогда $\lambda^{3}-5\lambda^{2}+8\lambda-4=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-4\lambda+4\right)=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}$

$$(A-2E)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 3 & -1\\ -3 & 3 & -1\\ -3 & 3 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -3 & 3 & -1\end{array}\right)$$

Следовательно пространство двумерное, тогда можно привести к диагональному в некотором базисе

$$A'=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 7 & -5\\ -4 & 5 & 0\\ 1 & 9 & -4 \end{array}\right)$$

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-17\lambda+13$$

первый корень $\lambda=1$ легко угадывается. Разделим многочлены воспользовавшись схемой Горнера

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & -5 & 17 & -13\\ \hline 1 & 1 & -4 & 13 & 0 \end{array}$$

Тогда $\lambda^{3}-5\lambda^{2}+17\lambda-13=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-4\lambda+13\right)$

Квадратное уравнение не имеет решения в поле вещественных чисел, значит не диагонализируемо над ним, но можно привести к диагональному виду в поле комплексных чисел. Корни многочлена $\lambda^{2}-4\lambda+13=0$

$$\lambda_{1;2}=\frac{1}{2}\left(4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot13}\right)=2\pm\sqrt{-9}=2\pm i3,$$ тогда

$$A'=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2+i3 & 0\\ 0 & 0 & 2-i3 \end{array}\right).$$