Найти матрицу оператора:

а) \((x_1, x_2, x_3) \mapsto (x_1,\; x_1+2x_2,\; x_2+3x_3)\) в пространстве \(\mathbb{R}^3\) в базисе из единичных векторов \(e_1, e_2, e_3\).

Решение: Образы базисных векторов: \[ Ae_1 = (1,1,0),\quad Ae_2 = (0,2,1),\quad Ae_3 = (0,0,3). \] Матрица (столбцы – координаты образов): \[ \boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}}. \]

—

б) Поворота плоскости на угол \(\alpha\) в произвольном ортонормированном базисе.

Решение: Матрица поворота в ортонормированном базисе: \[ \boxed{R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}}. \]

—

в) Поворота трёхмерного пространства на угол \(2\pi/3\) вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями \(x_1 = x_2 = x_3\), в базисе из единичных векторов осей координат.

Решение: Прямая \(x_1=x_2=x_3\) – это ось с направляющим вектором \((1,1,1)\). Поворот на \(120^\circ\) вокруг этой оси. Матрицу можно получить, например, используя формулу поворота вокруг произвольной оси (формула Родрига). Угол \(\varphi = 2\pi/3\), единичный вектор оси \(u = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\). Матрица поворота: \[ R = \cos\varphi\, I + (1-\cos\varphi)\, uu^T + \sin\varphi\, [u]_\times, \] где \([u]_\times\) – кососимметрическая матрица, соответствующая векторному произведению. Вычисления дают: \[ \boxed{R = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}}. \]

—

г) Проектирования трёхмерного пространства на координатную ось вектора \(e_2\) параллельно координатной плоскости векторов \(e_1\) и \(e_3\) в базисе \((e_1, e_2, e_3)\).

Решение: Оператор переводит \((x_1,x_2,x_3)\) в \((0,x_2,0)\). Матрица: \[ \boxed{P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}. \]

—

д) \(x \mapsto (x,a)a\) в евклидовом пространстве в ортонормированном базисе \((e_1, e_2, e_3)\) при \(a = e_1 - 2e_3\).

Решение: \(a = (1,0,-2)^T\). Оператор \(x \mapsto (x,a)a\) имеет матрицу \(A = a a^T\): \[ A = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}. \] \[ \boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}}. \]

—

е) \(X \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} X\) в пространстве \(M_2(\mathbb{R})\) в базисе из матричных единиц \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\).

Решение: Пусть \(M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Действие на базисные матрицы: \[ M E_{11} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} = a E_{11} + c E_{21}, \] \[ M E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end{pmatrix} = a E_{12} + c E_{22}, \] \[ M E_{21} = \begin{pmatrix} b & 0 \\ d & 0 \end{pmatrix} = b E_{11} + d E_{21}, \] \[ M E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = b E_{12} + d E_{22}. \] Матрица оператора (столбцы – координаты образов в порядке \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\)): \[ \boxed{\begin{pmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{pmatrix}}. \]

—

ж) \(X \mapsto X \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) в базисе из матричных единиц.

Решение: Аналогично, \(X \mapsto X M\). Вычисляем: \[ E_{11}M = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = a E_{11} + b E_{12}, \] \[ E_{12}M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{pmatrix} = a E_{21} + b E_{22}, \] \[ E_{21}M = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = c E_{11} + d E_{12}, \] \[ E_{22}M = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & d \end{pmatrix} = c E_{21} + d E_{22}. \] Матрица оператора: \[ \boxed{\begin{pmatrix} a & 0 & c & 0 \\ b & 0 & d & 0 \\ 0 & a & 0 & c \\ 0 & b & 0 & d \end{pmatrix}}. \]

—

з) \(X \mapsto X^T\) (транспонирование) в базисе из матричных единиц.

Решение: \(E_{11}^T = E_{11}\), \(E_{12}^T = E_{21}\), \(E_{21}^T = E_{12}\), \(E_{22}^T = E_{22}\). Матрица оператора: \[ \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}. \]

—

и) \(X \mapsto A X B\) (\(A, B\) – фиксированные матрицы) в базисе из матричных единиц.

Решение: Это линейный оператор. Его матрица в базисе \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\) равна кронекеровскому произведению \(B^T \otimes A\) (если векторизовать матрицу по столбцам). В порядке \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\) матрица имеет вид: \[ \boxed{A \otimes B^T = \begin{pmatrix} a_{11} B^T & a_{12} B^T \\ a_{21} B^T & a_{22} B^T \end{pmatrix}}, \] где \(A = (a_{ij})\). Конкретные значения зависят от \(A\) и \(B\).

—

к) \(X \mapsto A X + X B\) в базисе из матричных единиц.

Решение: Это сумма операторов из пунктов (е) и (ж) (при фиксированных \(A\) и \(B\)). Матрица равна сумме матриц для умножения слева на \(A\) и умножения справа на \(B\). В базисе \(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\): \[ \boxed{M_A + M_B^{\text{(right)}}}, \] где \(M_A\) – матрица из (е) с \(a,b,c,d\) из \(A\), а \(M_B^{\text{(right)}}\) – матрица из (ж) с \(a,b,c,d\) из \(B\).

—

л) Дифференцирования в пространстве \(\mathbb{R}[x]_n\) в базисе \((1, x, \dots, x^n)\).

Решение: Оператор \(D: p(x) \mapsto p'(x)\). Образы базисных векторов: \(D(x^k) = k x^{k-1}\) для \(k\ge 1\), \(D(1)=0\). Матрица (размера \((n+1)\times(n+1)\)) имеет единицы на поддиагонали: \[ \boxed{D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}}. \]

—

м) Дифференцирования в пространстве \(\mathbb{R}[x]_n\) в базисе \((x^n, x^{n-1}, \dots, 1)\).

Решение: Этот базис обратен стандартному. Матрица оператора получается из матрицы в стандартном базисе преобразованием подобия с матрицей перехода (антидиагональная). Можно вычислить непосредственно: \(D(x^{n-k}) = (n-k)x^{n-k-1}\). В новом базисе координаты вектора \(x^{n-k}\) – это единица на \((k+1)\)-м месте (если нумеровать с 1). Матрица будет верхнетреугольной с элементами на диагонали? Проще: матрица в базисе \((x^n, x^{n-1},...,1)\) – это транспонированная матрица из (л) относительно побочной диагонали. Конкретно: \[ \boxed{D' = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ n & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & n-1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}}. \] (Нумерация строк и столбцов от первого элемента \(x^n\) до последнего \(1\)).