Условие. Найти положительный и отрицательный индексы инерции: а) квадратичной функции \( q(x) = \operatorname{tr} x^2 \) на пространстве \( M_n(\mathbb{R}) \); б) квадратичной функции \( q(x) = \operatorname{tr}(x\overline{x}) \) на пространстве \( M_n(\mathbb{C}) \).

—

а) Пространство вещественных матриц \(M_n(\mathbb{R})\) разлагается в прямую сумму подпространства симметричных матриц \(S_n\) и кососимметричных матриц \(A_n\): \[ \dim S_n = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \dim A_n = \frac{n(n-1)}{2}. \] Для симметричной матрицы \(S\) имеем \(\operatorname{tr}(S^2) = \operatorname{tr}(S S^T) = \sum_{i,j} S_{ij}^2 \ge 0\), причём равенство только при \(S=0\). На \(S_n\) форма положительно определена. Для кососимметричной матрицы \(A\) имеем \(A^T = -A\), тогда \(\operatorname{tr}(A^2) = -\operatorname{tr}(A A^T) = -\sum_{i,j} A_{ij}^2 \le 0\), равенство только при \(A=0\). На \(A_n\) форма отрицательно определена. Подпространства \(S_n\) и \(A_n\) ортогональны относительно билинейной формы \(B(x,y)=\operatorname{tr}(xy)\), так как для \(S\in S_n\), \(A\in A_n\): \[ \operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr}((SA)^T) = \operatorname{tr}(A^T S^T) = \operatorname{tr}(-A S) = -\operatorname{tr}(AS) = -\operatorname{tr}(SA), \] следовательно, \(\operatorname{tr}(SA)=0\). Таким образом, форма распадается в ортогональную сумму положительно определённой на \(S_n\) и отрицательно определённой на \(A_n\). Отсюда положительный индекс инерции \[ p = \dim S_n = \frac{n(n+1)}{2}, \] отрицательный индекс \[ q = \dim A_n = \frac{n(n-1)}{2}. \]

б) Представим комплексную матрицу \(x\in M_n(\mathbb{C})\) в виде \(x = A + iB\), где \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\). Тогда \[ \overline{x} = A - iB,\qquad x\overline{x} = (A+iB)(A-iB) = A^2 + B^2 + i(BA-AB). \] След мнимой части равен нулю, так как \(\operatorname{tr}(BA-AB)=0\). Поэтому \[ q(x) = \operatorname{tr}(x\overline{x}) = \operatorname{tr}(A^2) + \operatorname{tr}(B^2). \] Следовательно, \(q(x)\) является прямой суммой двух копий квадратичной формы из пункта (а), рассматриваемых на вещественных матрицах \(A\) и \(B\). Пространство \(M_n(\mathbb{C})\) как вещественное имеет размерность \(2n^2\), и разложение \(x = A+iB\) задаёт изоморфизм с \(M_n(\mathbb{R})\oplus M_n(\mathbb{R})\). Поэтому положительный индекс инерции удваивается: \[ p = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1), \] отрицательный индекс: \[ q = 2\cdot\frac{n(n-1)}{2} = n(n-1). \]

—

Ответ. а) \(p = \dfrac{n(n+1)}{2},\; q = \dfrac{n(n-1)}{2}\); б) \(p = n(n+1),\; q = n(n-1)\).