Условие. Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадратичные функции:

а) \(x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + x_2^2 + 2x_2x_3 - 4x_2x_4 + x_3^2 - 2x_4^2\)  и \(x_1^2 + x_1x_2 + x_3x_4\);

б) \(x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3\)  и \(x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 4x_2x_3\)?

—

Над полем комплексных чисел две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг (сигнатура не имеет значения, так как можно умножать на комплексные числа, меняя знаки). Для каждой формы составим симметрическую матрицу и найдём её ранг.

Первая форма: \(Q_1 = x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + x_2^2 + 2x_2x_3 - 4x_2x_4 + x_3^2 - 2x_4^2\).

Матрица \(A\) (диагональные элементы – коэффициенты при квадратах, внедиагональные – половины коэффициентов при смешанных членах): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \]

Вычислим определитель. Приведём матрицу к треугольному виду, выполняя операции со строками и соответствующими столбцами (сохраняя симметрию) или разложим по первому столбцу. Первый столбец имеет ненулевой элемент \(a_{11}=1\) и нули после преобразований. После вычитания первой строки из остальных (с соответствующими изменениями столбцов) получим подматрицу 3×3, определитель которой равен нулю. Проще вычислить минор:

Минор 3×3 из первых трёх строк и столбцов: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -4 \neq 0, \] следовательно, ранг не меньше 3. Определитель всей матрицы: \[ \det A = 0 \] (проверяется, например, разложением по первому столбцу). Значит, \(\operatorname{rank} A = 3\).

Вторая форма: \(Q_2 = x_1^2 + x_1x_2 + x_3x_4\).

Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}. \] Определитель блочно-диагональной матрицы: \[ \det B = \left(1\cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \left(0\cdot 0 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} \neq 0, \] следовательно, \(\operatorname{rank} B = 4\).

Ранги различны (3 и 4), поэтому формы не эквивалентны над \(\mathbb{C}\).

Ответ для а): не эквивалентны.

Первая форма: \(Q_1 = x_1^2 + 4x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3\).

Матрица \(A\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] \[ \det A = 1\cdot(4\cdot1 - 0\cdot0) - 2\cdot(2\cdot1 - 0\cdot(-1)) + (-1)\cdot(2\cdot0 - 4\cdot(-1)) = 4 - 4 + 4 = 4 \neq 0, \] \(\operatorname{rank} A = 3\).

Вторая форма: \(Q_2 = x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 4x_2x_3\).

Матрица \(B\): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}. \] \[ \det B = 1\cdot(2\cdot(-1) - (-2)\cdot(-2)) - 2\cdot(2\cdot(-1) - (-2)\cdot(-1)) + (-1)\cdot(2\cdot(-2) - 2\cdot(-1)) = \\ = 1\cdot(-2 - 4) - 2\cdot(-2 - 2) + (-1)\cdot(-4 + 2) = -6 - 2\cdot(-4) + (-1)\cdot(-2) = -6 + 8 + 2 = 4 \neq 0, \] \(\operatorname{rank} B = 3\).

Обе формы невырождены и имеют одинаковый ранг 3. Над полем комплексных чисел любые две невырожденные квадратичные формы от трёх переменных эквивалентны (приводятся к сумме трёх квадратов с единичными коэффициентами).

Ответ для б): эквивалентны.