Условие. Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций:

а) \(2x_1y_1 - x_1y_2 + x_1y_3 - x_2y_1 + x_3y_1 + 3x_3y_3\);

б) \(2x_1y_2 + 3x_1y_3 + 2x_2y_1 - x_2y_3 + 3x_3y_1 - x_3y_2 + x_3y_3\).

—

Для симметрической билинейной формы \(f(x,y)\) строим её матрицу \(A = (a_{ij})\), где \(a_{ij}\) — коэффициент при \(x_i y_j\) (причём \(a_{ij}=a_{ji}\)). Канонический вид методом Якоби для невырожденной формы (все главные миноры отличны от нуля) получается в виде диагональной матрицы с элементами \[ d_1 = \Delta_1,\quad d_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta_1},\quad d_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta_2}, \] где \(\Delta_k\) — главные миноры матрицы \(A\). Если среди \(\Delta_k\) встречаются нули, предварительно переставляют переменные, чтобы обеспечить их ненулевость.

Запишем матрицу формы. Коэффициенты: \[ a_{11}=2,\; a_{12}=-1,\; a_{13}=1,\; a_{21}=-1,\; a_{22}=0,\; a_{23}=0,\; a_{31}=1,\; a_{32}=0,\; a_{33}=3. \] Итак, \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \] Главные миноры: \[ \Delta_1 = 2,\quad \Delta_2 = \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 0\end{vmatrix} = -1,\quad \Delta_3 = \det A = -3. \] Все ненулевые. Тогда канонический вид: \[ d_1 = \Delta_1 = 2,\quad d_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta_1} = \frac{-1}{2},\quad d_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta_2} = \frac{-3}{-1} = 3. \] Следовательно, в новых координатах \((\xi_i, \eta_i)\) форма принимает вид \[ f = 2\,\xi_1\eta_1 - \frac{1}{2}\,\xi_2\eta_2 + 3\,\xi_3\eta_3. \]

Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}. \] Первый главный минор \(\Delta_1 = 0\). Переставим переменные так, чтобы первый диагональный элемент стал ненулевым. Положим \(u_1 = x_3,\; u_2 = x_1,\; u_3 = x_2\). В новых координатах матрица станет \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \] Главные миноры матрицы \(B\): \[ \Delta_1' = 1,\quad \Delta_2' = \begin{vmatrix}1 & 3\\ 3 & 0\end{vmatrix} = -9,\quad \Delta_3' = \det B = \det A = -16. \] Тогда \[ d_1 = 1,\quad d_2 = \frac{-9}{1} = -9,\quad d_3 = \frac{-16}{-9} = \frac{16}{9}. \] Таким образом, в координатах, полученных после указанной перестановки, канонический вид формы: \[ f = 1\cdot\xi_1\eta_1 - 9\cdot\xi_2\eta_2 + \frac{16}{9}\,\xi_3\eta_3. \]

—

Ответ. а) \(2\xi_1\eta_1 - \frac{1}{2}\xi_2\eta_2 + 3\xi_3\eta_3\); б) \(\xi_1\eta_1 - 9\xi_2\eta_2 + \frac{16}{9}\xi_3\eta_3\).