Условие. Найти матрицу билинейной функции \(f\) в новом базисе, если заданы её матрица в старом базисе и формулы перехода:

а) Матрица в старом базисе: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}, \] формулы перехода: \[ \begin{aligned} e_1' &= e_1 - e_2, \\ e_2' &= e_1 + e_3, \\ e_3' &= e_1 + e_2 + e_3. \end{aligned} \]

б) Матрица в старом базисе: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \] формулы перехода: \[ \begin{aligned} e_1' &= e_1 + 2e_2 - e_3, \\ e_2' &= e_2 - e_3, \\ e_3' &= -e_1 + e_2 - 3e_3. \end{aligned} \]

—

Для билинейной функции матрица в новом базисе вычисляется по формуле: \[ A' = P^T A P, \] где \(P\) — матрица перехода от нового базиса к старому, т.е. столбцы \(P\) содержат координаты новых базисных векторов в старом базисе.

Координаты новых векторов в старом базисе: \[ e_1' = (1, -1, 0)^T,\quad e_2' = (1, 0, 1)^T,\quad e_3' = (1, 1, 1)^T. \] Матрица перехода: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Вычислим \(A P\): \[ A P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 6 \\ -1 & 10 & 15 \\ -1 & 16 & 24 \end{pmatrix}. \] Теперь \(A' = P^T (A P)\): \[ P^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 & 6 \\ -1 & 10 & 15 \\ -1 & 16 & 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -6 & -9 \\ -2 & 20 & 30 \\ -3 & 30 & 45 \end{pmatrix}. \]

Ответ для а): \[ \boxed{\begin{pmatrix} 0 & -6 & -9 \\ -2 & 20 & 30 \\ -3 & 30 & 45 \end{pmatrix}} \]

Координаты новых векторов в старом базисе: \[ e_1' = (1, 2, -1)^T,\quad e_2' = (0, 1, -1)^T,\quad e_3' = (-1, 1, -3)^T. \] Матрица перехода: \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}. \] Вычислим \(A P\): \[ A P = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ -4 & -3 & -8 \end{pmatrix}. \] Теперь \(A' = P^T (A P)\): \[ P^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix},\qquad A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ -4 & -3 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & 8 & 15 \\ 6 & 5 & 12 \\ 11 & 10 & 29 \end{pmatrix}. \]

Ответ для б): \[ \boxed{\begin{pmatrix} 11 & 8 & 15 \\ 6 & 5 & 12 \\ 11 & 10 & 29 \end{pmatrix}} \]