Задача 37.35

Доказать, что функция \[ h(f,g)=\int_0^1 f(x)\,g'(x)\,dx \] на пространстве многочленов степени $\le 5$, обращающихся в нуль в точках $0$ и $1$, является кососимметрической, и найти для неё канонический базис.

Пусть $V=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]_{\le5}\mid p(0)=p(1)=0\}$. Для любых $f,g\in V$: \[ h(f,g)=\int_0^1 f g'\,dx. \] Интегрируем по частям: \[ \int_0^1 f g'\,dx = fg\Big|_0^1-\int_0^1 f' g\,dx = 0 - \int_0^1 f' g\,dx = -\int_0^1 g f'\,dx = -h(g,f). \] Внеинтегральный член обращается в нуль из-за условий $f(0)=f(1)=g(0)=g(1)=0$. Следовательно, $h(f,g)=-h(g,f)$, т.е. форма кососимметрична. Билинейность очевидна.

Рассмотрим отображение $D:V\to P_4$, $D(f)=f'$. Поскольку $f(0)=0$, отображение инъективно, а образ состоит из многочленов степени $\le4$ с нулевым интегралом (так как $\int_0^1 f' = f(1)-f(0)=0$). Размерность образа равна $4$, следовательно, $D$ — изоморфизм $V$ на $W=\{q\in P_4\mid \int_0^1 q=0\}$. Для любого $f\in V$, $h(f,g)=-\int_0^1 f' g = -\langle f',g\rangle_{L_2}$. Если $h(f,g)=0$ для всех $g\in V$, то $\langle f',g\rangle=0$ для всех $g\in V$, т.е. $f'$ ортогонален $W$. В $L_2(0,1)$ ортогональное дополнение к $W$ состоит из констант. Значит $f'=\text{const}$, откуда $f$ линеен. Но линейный многочлен, обращающийся в нуль в $0$ и $1$, тождественно равен нулю. Поэтому ядро $h$ тривиально, форма невырождена, и её ранг равен $\dim V=4$.

Канонический базис $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ должен удовлетворять: \[ h(e_1,e_2)=1,\quad h(e_3,e_4)=1,\quad h(e_i,e_j)=0 \text{ в остальных случаях}. \]

Выберем $e_1(x)=x(1-x)=x-x^2$. Для нахождения $e_2$ подберём многочлен из $V$ так, чтобы $h(e_1,e_2)=1$. Положим $\varphi_2(x)=x^2(1-x)=x^2-x^3$. Вычисляем \[ h(e_1,\varphi_2)=-\int_0^1 e_1'(x)\varphi_2(x)\,dx = -\int_0^1 (1-2x)(x^2-x^3)\,dx = \frac{1}{60}. \] Следовательно, $e_2(x)=60\varphi_2(x)=60x^2(1-x)$ даёт $h(e_1,e_2)=1$.

Далее находим подпространство $V'=\{f\in V\mid h(e_1,f)=h(e_2,f)=0\}$. В базисе \[ \varphi_1=e_1,\;\varphi_2,\;\varphi_3=x^3(1-x)=x^3-x^4,\;\varphi_4=x^4(1-x)=x^4-x^5 \] запишем условия. После вычислений получаем два линейно независимых вектора: \[ f_3 = 2\varphi_1-7\varphi_2+7\varphi_3 = 2x-9x^2+14x^3-7x^4, \] \[ f_4 = 5\varphi_1-12\varphi_2+14\varphi_4 = 5x-17x^2+12x^3+14x^4-14x^5. \] Их значение формы: $h(f_3,f_4)=1/90$. Положим \[ e_3 = f_3,\qquad e_4 = 90f_4 = 450x-1530x^2+1080x^3+1260x^4-1260x^5. \] Тогда $h(e_3,e_4)=1$, а все остальные попарные значения равны нулю.

Таким образом, искомый канонический базис: \[ \boxed{ \begin{aligned} e_1(x)&=x(1-x),\\ e_2(x)&=60x^2(1-x),\\ e_3(x)&=2x-9x^2+14x^3-7x^4,\\ e_4(x)&=450x-1530x^2+1080x^3+1260x^4-1260x^5. \end{aligned} } \]