Привести к каноническому виду кососимметрические билинейные функции.

\[ B(x,y)=x_1y_2 - x_1y_3 - x_2y_1 + 2x_2y_3 + x_3y_1 - 2x_3y_2 \]

Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

Ранг = 2. Выберем базис: \[ f_1 = (1,0,0),\quad f_2 = (0,1,0),\quad f_3 = (2,1,1). \] В этом базисе $B(f_1,f_2)=1$, $B(f_1,f_3)=B(f_2,f_3)=0$, $B(f_3,f_3)=0$.

Замена переменных (от старых $x$ к новым $y$): \[ \begin{cases} y_1 = x_1 - 2x_3,\\ y_2 = x_2 - x_3,\\ y_3 = x_3. \end{cases} \] В новых переменных канонический вид: \[ B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1. \]

\[ B(x,y)=2x_1y_2 + x_1y_3 - 2x_2y_1 + 3x_2y_3 - x_3y_1 - 3x_3y_2 \]

Матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \]

Ранг = 2. Базис: \[ f_1 = (1,0,0),\quad f_2 = (0,0,1),\quad f_3 = (-3,1,-2). \] Проверка: $B(f_1,f_2)=1$, $B(f_1,f_3)=B(f_2,f_3)=0$.

Замена переменных: \[ \begin{cases} y_1 = x_1 + 3x_2,\\ y_2 = x_3 + 2x_2,\\ y_3 = x_2. \end{cases} \] Канонический вид: \[ B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1. \]

Кососимметрическая билинейная форма $B(x,y)$ на конечномерном векторном пространстве $V$ (над полем характеристики $\ne2$) удовлетворяет $B(x,y)=-B(y,x)$. В подходящем базисе она приводится к каноническому виду: \[ B(x,y) = x_1y_2 - x_2y_1 + x_3y_4 - x_4y_3 + \dots + x_{2k-1}y_{2k} - x_{2k}y_{2k-1}, \] где $2k = \operatorname{rank} B$, а остальные координатные оси соответствуют нулевому значению.

Алгоритм приведения (построения канонического базиса):

1. Проверка кососимметричности (если не дано). Убедиться, что $B(x,x)=0$ для всех $x$ (эквивалентно $B(x,y)=-B(y,x)$).

2. Нахождение ранга. Можно вычислить матрицу формы $A$ ($A_{ij}=B(e_i,e_j)$ в произвольном базисе) и найти её ранг. Ранг всегда чётен. Если ранг $=0$, форма нулевая.

3. Построение канонического базиса (индуктивный процесс):

1. Выбрать любой вектор $e_1$ такой, что существует $e_2$ с $B(e_1,e_2)\ne0$.
2. Подобрать $e_2$ так, чтобы $B(e_1,e_2)=1$ (нормировка: разделить на $B(e_1,\tilde e_2)$).
3. Рассмотреть подпространство $U = \{x\in V\mid B(e_1,x)=B(e_2,x)=0\}$ (косоортогональное дополнение к $\langle e_1,e_2\rangle$). В $U$ ограничение $B$ снова кососимметрично.
4. Перейти к шагу 1 для $U$ (рекурсивно). В результате получим пары $(e_1,e_2), (e_3,e_4), \dots, (e_{2k-1},e_{2k})$, где $B(e_{2i-1}, e_{2i})=1$, а все остальные $B(e_i,e_j)=0$.
5. Оставшиеся базисные векторы (если $\dim V > 2k$) добавляются произвольно, они лежат в ядре формы.

4. Замена переменных. Если нужно перейти от старых координат $x$ к новым $y$, то матрица перехода $P$ (столбцы – координаты $e_1,\dots,e_n$) даёт: \[ B(x,y) = (P^{-1}x)^T \tilde A (P^{-1}y), \quad \tilde A = P^T A P, \] где $\tilde A$ – блочно-диагональная матрица с блоками $\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}$ и нулями. Часто проще сразу выразить новые переменные через старые из системы линейных уравнений, задающей $B$ в каноническом виде.

Пример (задача 37.33а): Матрица $A = \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&2\\1&-2&0\end{pmatrix}$. Ранг = 2. Выбираем $e_1=(1,0,0)$. Ищем $e_2$: $B(e_1,e_2)=1$. В качестве пробного $\tilde e_2=(0,1,0)$ даёт $B(e_1,\tilde e_2)=1$, поэтому берём $e_2=(0,1,0)$. Далее $U$ – решения $B(e_1,x)=0$, $B(e_2,x)=0$. Из системы находим $x=(2,1,1)$ – один вектор, он образует ядро. Добавляем $e_3=(2,1,1)$. Получаем канонический базис $(e_1,e_2,e_3)$.

Важное замечание: характеристический многочлен здесь не используется, так как собственные значения кососимметрической матрицы либо нули, либо чисто мнимые и не определяют канонический вид (различные ненулевые значения $c$ в блоке $\begin{pmatrix}0&c\\-c&0\end{pmatrix}$ приводятся к $c=1$ масштабированием базиса). Единственный инвариант – ранг (и пфаффиан для чётного ранга, но над $\mathbb{R}$ он сводится к знаку).