Задача 37.33

Привести к каноническому виду кососимметрические билинейные функции.

\[ B(x,y)=x_1y_2 - x_1y_3 - x_2y_1 + 2x_2y_3 + x_3y_1 - 2x_3y_2 \]

Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \]

Ранг = 2. Выберем базис: \[ f_1 = (1,0,0),\quad f_2 = (0,1,0),\quad f_3 = (2,1,1). \] В этом базисе $B(f_1,f_2)=1$, $B(f_1,f_3)=B(f_2,f_3)=0$, $B(f_3,f_3)=0$.

Замена переменных (от старых $x$ к новым $y$): \[ \begin{cases} y_1 = x_1 - 2x_3,\\ y_2 = x_2 - x_3,\\ y_3 = x_3. \end{cases} \] В новых переменных канонический вид: \[ B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1. \]

\[ B(x,y)=2x_1y_2 + x_1y_3 - 2x_2y_1 + 3x_2y_3 - x_3y_1 - 3x_3y_2 \]

Матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \]

Ранг = 2. Базис: \[ f_1 = (1,0,0),\quad f_2 = (0,0,1),\quad f_3 = (-3,1,-2). \] Проверка: $B(f_1,f_2)=1$, $B(f_1,f_3)=B(f_2,f_3)=0$.

Замена переменных: \[ \begin{cases} y_1 = x_1 + 3x_2,\\ y_2 = x_3 + 2x_2,\\ y_3 = x_2. \end{cases} \] Канонический вид: \[ B(x,y) = y_1 z_2 - y_2 z_1. \]