Пусть $L = K[x]_1$ (см. 34.12), $K$ — поле. Найти матрицу линейного отображения $\mathcal{A}: f(x) \mapsto f(S)$ пространства $L$ в пространство $M = M_2(K)$, где $S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ — фиксированная матрица, если в $L$ выбран базис $(1, x)$, а в $M$ — базис из матричных единиц.

1. Понимание пространств и отображения. $L = K[x]_1$ — пространство многочленов степени $\le 1$ над полем $K$. Базис: $1$, $x$. $M = M_2(K)$ — пространство квадратных матриц $2 \times 2$; его размерность $4$. Базис из матричных единиц: $$ E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\; E_{12} = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\; E_{21} = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\; E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. $$

Отображение $\mathcal{A}$: для $f(x) = \alpha + \beta x$ ( $\alpha,\beta \in K$ ) $$ \mathcal{A}(f) = f(S) = \alpha E + \beta S, $$ где $E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ — единичная матрица.

2. Образы базисных векторов $L$. - $\mathcal{A}(1) = 1 \cdot E + 0 \cdot S = E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. - $\mathcal{A}(x) = 0 \cdot E + 1 \cdot S = S = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$.

3. Разложение образов по базису $M$. Для $E$: $$ E = 1 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 1 \cdot E_{22}. $$ Координаты: $(1,0,0,1)^T$.

Для $S$: $$ S = a \cdot E_{11} + b \cdot E_{12} + c \cdot E_{21} + d \cdot E_{22}. $$ Координаты: $(a,b,c,d)^T$.

4. Матрица отображения $\mathcal{A}$. В выбранных базисах матрица размера $4 \times 2$ (столбцы — координаты образов базисных векторов $L$): $$ A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \\ 0 & c \\ 1 & d \end{pmatrix}. $$ (Первый столбец — образ $1$, второй — образ $x$.)

5. Ответ. $$ \boxed{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \\ 0 & c \\ 1 & d \end{pmatrix} } $$