Это старая версия документа!

Задача 36.3. Пусть линейное отображение \(A: V \to W\) в базисах \((e_1, e_2, e_3)\) пространства \(V\) и \((f_1, f_2)\) пространства \(W\) имеет матрицу \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}. \] Найти матрицу отображения \(A\) в базисах \((e_1,\; e_1+e_2,\; e_1+e_2+e_3)\) и \((f_1,\; f_1+f_2)\).

—

Решение.

1. Обозначения и формулы.

 Пусть старые базисы:  
 \( \mathbf{e} = (e_1,e_2,e_3) \) в \(V\), \( \mathbf{f} = (f_1,f_2) \) в \(W\).  
 Матрица отображения в этих базисах – \(A\) (размера \(2 \times 3\)).  
 Новые базисы:  
 \(\mathbf{e}' = (e_1', e_2', e_3')\) с \(e_1' = e_1,\; e_2' = e_1+e_2,\; e_3' = e_1+e_2+e_3\);  
 \(\mathbf{f}' = (f_1', f_2')\) с \(f_1' = f_1,\; f_2' = f_1+f_2\).  

 Матрица перехода от нового базиса к старому в \(V\) (столбцы – координаты новых векторов в старом базисе) имеет вид  
 \[
 Q = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}.
 \]  
 Матрица перехода от нового базиса к старому в \(W\):  
 \[
 P = \begin{pmatrix}
 1 & 1 \\
 0 & 1
 \end{pmatrix},\qquad 
 P^{-1} = \begin{pmatrix}
 1 & -1 \\
 0 & 1
 \end{pmatrix}.
 \]  

 Матрица отображения в новых базисах вычисляется по формуле  
 \[
 A' = P^{-1} \cdot A \cdot Q.
 \]

2. Вычисление \(A Q\).

 \[
 A Q = \begin{pmatrix}
 0 & 1 & 2 \\
 3 & 4 & 5
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 0\cdot1+1\cdot0+2\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1+2\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1+2\cdot1 \\
 3\cdot1+4\cdot0+5\cdot0 & 3\cdot1+4\cdot1+5\cdot0 & 3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1
 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 0 & 1 & 3 \\
 3 & 7 & 12
 \end{pmatrix}.
 \]

3. Умножение на \(P^{-1}\).

 \[
 A' = \begin{pmatrix}
 1 & -1 \\
 0 & 1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 0 & 1 & 3 \\
 3 & 7 & 12
 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 1\cdot0 + (-1)\cdot3 & 1\cdot1 + (-1)\cdot7 & 1\cdot3 + (-1)\cdot12 \\
 0\cdot0 + 1\cdot3 & 0\cdot1 + 1\cdot7 & 0\cdot3 + 1\cdot12
 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 -3 & -6 & -9 \\
 3 & 7 & 12
 \end{pmatrix}.
 \]

4. Проверка (на примере первого базисного вектора).

 \(e_1' = e_1\). Образ: \(A(e_1) = 0\cdot f_1 + 3\cdot f_2 = 3f_2\).  
 В новом базисе \(W\): \(3f_2 = 3(f_2' - f_1') = -3f_1' + 3f_2'\), что даёт координаты \((-3,3)\).  
 Первый столбец \(A'\) – \((-3,3)^\mathsf{T}\) – совпадает.

5. Ответ.

 \[
 \boxed{
 \begin{pmatrix}
 -3 & -6 & -9 \\
 3 & 7 & 12
 \end{pmatrix}
 }
 \]