Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек $(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $(b_{1},b_{2},b_{3})$:

а)

$$\left\{ \begin{array}{c} a_{1}=(1,2,1)\\ a_{2}=(1,1,-1)\\ a_{3}=(1,3,3) \end{array}\right., \ \ \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=(1,2,2)\\ b_{2}=(2,3,-1)\\ b_{3}=(1,1,-3) \end{array}\right.$$

Составляем матрицу и преобразованием строк приводим к ступенчатому виду

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 3 & 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & 3 & 3 & -1 & -3 \end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1);(3)-(1)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 2 & 2 & -3 & -4 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)+(2);(3)-2(2)}$$

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & -2 \end{array}\right) \underset{\to}{(1)-\frac{1}{2}(3);-1(2);\frac{1}{2}(3)}\left(\begin{array}{ccc|ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ \hline 1 & 0 & 2 & 0 & \frac{3}{2} & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & -1 \end{array}\right)$$

Таким образом базис объединения:

$$L_{1}\cup L_{2}=\left\langle a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \cup\left\langle b_{1},b_{2},b_{3}\right\rangle =\left\langle a_{1},a_{2},b_{1}\right\rangle $$

Пересечение пространств найдём из равенств: $b_{2}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}-\frac{1}{2}b_{1}$ и $b_{3}=a_{1}+a_{2}-b_{1}$

перенося все вектора первой оболочки влево, а второй вправо, тогда:

$b_{2}+\frac{1}{2}b_{1}=\frac{3}{2}a_{1}+a_{2}$ и $b_{3}+b_{1}=a_{1}+a_{2}$

В результате $L_{1}\cap L_{2}=\left\langle b_{2}+\frac{1}{2}b_{1},b_{3}+b_{1}\right\rangle =\left\langle \frac{3}{2}a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}\right\rangle =\left\langle \left(\frac{5}{2},4,\frac{1}{2}\right),\left(2,3,0\right)\right\rangle $

Что имеем с размерностями?

$\dim L_{1}=2,\dim L_{2}=3,\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)=3,\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)=2$

Соотношение Грассмана

$\dim L_{1}+\dim L_{2}=3=\dim\left(L_{1}\cup L_{2}\right)-\dim\left(L_{1}\cap L_{2}\right)$ выполняется.