34.11. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов \(S\) и \(S'\) является базисом. Найти матрицу перехода от \(S\) к \(S'\):

а) \(S = ((1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 8, 2))\), \(S' = ((3, 5, 8), (5, 14, 13), (1, 9, 2))\).

Решение. Составим матрицы из векторов, записывая их как столбцы: \[ S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 8 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad S' = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 5 & 14 & 9 \\ 8 & 13 & 2 \end{pmatrix}. \] Их определители: \[ \det S = -1 \neq 0, \quad \det S' = -4 \neq 0, \] поэтому обе системы являются базисами в \(\mathbb{R}^3\).

Матрица перехода \(P\) от \(S\) к \(S'\) удовлетворяет соотношению \(S' = S \cdot P\). Находим \(P\) методом Гаусса, решая систему \([S \mid S']\): \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 5 & 14 & 9 \\ 1 & 3 & 2 & 8 & 13 & 2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & -1 & 5 & 8 & 1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 12 & 8 \end{array}\right). \] Обратным ходом получаем: \[ P = \begin{pmatrix} -27 & -71 & -41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{pmatrix}. \]

Ответ: \[ \boxed{\begin{pmatrix} -27 & -71 & -41 \\ 9 & 20 & 9 \\ 4 & 12 & 8 \end{pmatrix}} \]

б) \(S = ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 1), (1, 3, 2, 3))\), \(S' = ((1, 0, 3, 3), (-2, -3, -5, -4), (2, 2, 5, 4), (-2, -3, -4, -4))\).

Решение. Запишем матрицы: \[ S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad S' = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & -3 & 2 & -3 \\ 3 & -5 & 5 & -4 \\ 3 & -4 & 4 & -4 \end{pmatrix}. \] Определитель \(\det S = 2 \neq 0\) (матрица \(S\) приводится к верхнетреугольной с диагональю \(1,1,1,2\)). Система \(S'\) также является базисом, так как матрица перехода \(P\) (найденная ниже) имеет определитель \(-1 \neq 0\).

Решаем систему \([S \mid S']\) методом Гаусса: \[ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 & 3 & 0 & -3 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & -5 & 5 & -4 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 3 & -4 & 4 & -4 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -3 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & -2 & 2 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -3 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right). \] Далее, обнуляя элементы выше главной диагонали, получаем: \[ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right). \] Таким образом, матрица перехода \[ P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}. \]

Ответ: \[ \boxed{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}} \]