Вычислить определитель порядка $n$ $$\begin{vmatrix}x&a&a&\dots&a\\a&x&a&\dots&a\\a&a&x&\dots&a\\\vdots&&&&\vdots\\a&a&a&\dots&x\end{vmatrix}.$$

Сумма элементов каждой строки равна $x+(n-1)a$. Прибавим к первому столбцу все остальные и вынесем этот множитель: $$D=\bigl(x+(n-1)a\bigr)\begin{vmatrix}1&a&a&\dots&a\\1&x&a&\dots&a\\1&a&x&\dots&a\\\vdots&&&&\vdots\\1&a&a&\dots&x\end{vmatrix}.$$ Вычтем первую строку из всех остальных: $$D=\bigl(x+(n-1)a\bigr)\begin{vmatrix}1&a&a&\dots&a\\0&x-a&0&\dots&0\\0&0&x-a&\dots&0\\\vdots&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&x-a\end{vmatrix}=\bigl(x+(n-1)a\bigr)(x-a)^{n-1}.$$

Проверка при $n=2$: $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$.

При $x=0$, $a=1$ получается ответ задачи 320.

$\bigl(x+(n-1)a\bigr)(x-a)^{n-1}$.