Вычислить определитель порядка $n$ $$\begin{vmatrix}0&1&1&\dots&1\\1&0&1&\dots&1\\1&1&0&\dots&1\\\vdots&&&&\vdots\\1&1&1&\dots&0\end{vmatrix}.$$

Сумма элементов каждой строки равна $n-1$. Прибавим к первому столбцу все остальные и вынесем общий множитель $n-1$: $$D=(n-1)\begin{vmatrix}1&1&1&\dots&1\\1&0&1&\dots&1\\1&1&0&\dots&1\\\vdots&&&&\vdots\\1&1&1&\dots&0\end{vmatrix}.$$ Теперь вычтем первую строку из всех остальных: $$D=(n-1)\begin{vmatrix}1&1&1&\dots&1\\0&-1&0&\dots&0\\0&0&-1&\dots&0\\\vdots&&&&\vdots\\0&0&0&\dots&-1\end{vmatrix}=(n-1)(-1)^{n-1}.$$

Проверка: $n=2$: $\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1$; $n=3$: $\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=2$.

Это частный случай задачи 321 при $x=0$, $a=1$.

$(-1)^{n-1}(n-1)$.