Вычислить определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

a) $\begin{vmatrix}1&0&-1&-1\\0&-1&-1&1\\a&b&c&d\\-1&-1&1&0\end{vmatrix}$; b) $\begin{vmatrix}2&1&1&x\\1&2&1&y\\1&1&2&z\\1&1&1&t\end{vmatrix}$; c) $\begin{vmatrix}a&1&1&1\\b&0&1&1\\c&1&0&1\\d&1&1&0\end{vmatrix}$.

а) Раскладываем по третьей строке $(a,b,c,d)$. Вычисляя миноры $M_{31},M_{32},M_{33},M_{34}$ (вычёркиванием строки 3 и соответствующего столбца) получаем $M_{31}=3,\,M_{32}=1,\,M_{33}=2,\,M_{34}=-1$, а знаки $(-1)^{3+j}$ дают кофакторы $3,-1,2,1$. Значит $$\Delta_a=3a-b+2c+d.$$

b) Раскладываем по четвёртому столбцу $(x,y,z,t)$. Миноры $M_{14}=1,\,M_{24}=-1,\,M_{34}=1,\,M_{44}=4$, кофакторы (со знаками $(-1)^{i+4}$) равны $-1,-1,-1,4$. Значит $$\Delta_b=-x-y-z+4t.$$

c) Раскладываем по первому столбцу $(a,b,c,d)$. Миноры $M_{11}=2,\,M_{21}=1,\,M_{31}=-1,\,M_{41}=1$, кофакторы (знаки $(-1)^{i+1}$) равны $2,-1,-1,-1$. Значит $$\Delta_c=2a-b-c-d.$$

a) $3a-b+2c+d$; b) $-x-y-z+4t$; c) $2a-b-c-d$.