Задача 25.4

Условие.

1) Доказать, что функция \(F(X, Y) = \operatorname{tr} X^T Y\) записывается через элементы матриц формулой (1) из введения и может быть принята за скалярное произведение в пространстве вещественных матриц размеров \(m \times n\).

2) Евклидовой нормой матрицы называется её длина при этом скалярном произведении. Доказать, что евклидова норма равна квадратному корню из суммы квадратов всех элементов матрицы.

3) Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.

Решение.

1) Пусть \(X, Y \in \mathbb{R}^{m \times n}\). Запишем след произведения \(X^T Y\) через элементы матриц: \[ (X^T Y)_{jj} = \sum_{i=1}^m X^T_{ji} Y_{ij} = \sum_{i=1}^m X_{ij} Y_{ij}. \] Тогда \[ \operatorname{tr}(X^T Y) = \sum_{j=1}^n (X^T Y)_{jj} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m X_{ij} Y_{ij}. \] Это в точности формула (1) из введения — сумма попарных произведений всех соответствующих элементов матриц \(X\) и \(Y\). Такая функция является стандартным скалярным произведением, если рассматривать матрицу как вектор длины \(mn\), полученный выписыванием всех её элементов подряд. Следовательно, она удовлетворяет аксиомам скалярного произведения: симметрична, билинейна и положительно определена (сумма квадратов элементов равна нулю только для нулевой матрицы).

Таким образом, \(\langle X, Y \rangle = \operatorname{tr}(X^T Y)\) действительно задаёт скалярное произведение в \(\mathbb{R}^{m \times n}\).

2) Евклидова норма матрицы, соответствующая этому скалярному произведению: \[ \|X\| = \sqrt{\langle X, X \rangle} = \sqrt{\operatorname{tr}(X^T X)} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n X_{ij}^2}. \] Это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы, что и требовалось доказать.

3) Стандартный базис в пространстве матриц \(m \times n\) состоит из матричных единиц \(E_{ij}\), \(i = 1,\dots,m\), \(j = 1,\dots,n\), где \(E_{ij}\) имеет 1 на позиции \((i,j)\) и 0 на остальных местах.

Длина базисного вектора: \[ \|E_{ij}\| = \sqrt{\sum_{k,l} (E_{ij})_{kl}^2} = \sqrt{1^2 + 0} = 1. \] Все \(mn\) базисных векторов имеют длину 1.

Угол \(\theta\) между двумя различными базисными матрицами \(E_{ij}\) и \(E_{kl}\): \[ \cos\theta = \frac{\langle E_{ij}, E_{kl} \rangle}{\|E_{ij}\| \|E_{kl}\|} = \sum_{p,q} (E_{ij})_{pq} (E_{kl})_{pq}. \] Если \((i,j) \neq (k,l)\), то носители единиц не пересекаются, поэтому сумма попарных произведений равна 0. Следовательно, \(\cos\theta = 0\) и \(\theta = \frac{\pi}{2}\). Базис является ортонормированным относительно введённого скалярного произведения.

Ответ: стандартный базис состоит из попарно ортогональных векторов единичной длины.