Задача 25.35

Может ли третья строка матрицы Грама некоторого базиса в четырёхмерном пространстве быть строкой:

1) $\|1\ 1\ 1\ 1\|$; 2) $\|-1\ -1\ -1\ -1\|$; 3) $\|1\ 0\ 1\ 0\|$; 4) $\|0\ 1\ 0\ 1\|$; 5) $\|\frac12\ \frac12\ \frac14\ \frac12\|$?

Матрица Грама $G = (g_{ij})$ базиса $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ симметрична и положительно определена. В частности, все диагональные элементы $g_{ii} = \langle e_i, e_i \rangle > 0$, и для любых $i,j$ выполняется неравенство Коши–Буняковского: $|g_{ij}| \le \sqrt{g_{ii}g_{jj}}$.

Третья строка матрицы имеет вид $(g_{31}, g_{32}, g_{33}, g_{34})$.

Необходимое условие: $g_{33} > 0$ (строго положительно).

Проверим каждый пункт:

1) $(1,1,1,1)$: $g_{33}=1>0$. Подберём остальные элементы, например: \[ G = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \]

 которая положительно определена (главные миноры положительны). Следовательно, такая строка возможна.

2) $(-1,-1,-1,-1)$: $g_{33} = -1 < 0$ – противоречие с положительной определённостью. Невозможно.

3) $(1,0,1,0)$: $g_{33}=1>0$. Возможна, например, матрица \[ G = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

 (проверка положительной определённости: собственные значения положительны).

4) $(0,1,0,1)$: $g_{33}=0$ – невозможно, так как скалярное произведение базисного вектора на себя должно быть положительным.

5) $(\frac12,\frac12,\frac14,\frac12)$: $g_{33}=\frac14>0$. Возможна, например, \[ G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 1 & \frac12 & 0\\ \frac12 & \frac12 & \frac14 & \frac12\\ 0 & 0 & \frac12 & 1 \end{pmatrix}, \]

 положительно определена (можно проверить критерием Сильвестра).

Могут: 1, 3, 5. Не могут: 2, 4.