Задача 25.33

В матрице Грама некоторого базиса все элементы равны либо $0$, либо $1$, либо $-1$. Доказать, что базис ортонормированный.

Пусть $\{e_1,\dots,e_n\}$ — базис, $G = (g_{ij})$ — его матрица Грама, где $g_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle$.

1. Диагональные элементы. Для любого $i$ имеем $g_{ii} = \|e_i\|^2 > 0$ (скалярное произведение вектора на себя положительно). По условию $g_{ii} \in \{0,1,-1\}$, следовательно $g_{ii}=1$. Таким образом, $\|e_i\|=1$ для всех $i$.

2. Недиагональные элементы. Для $i\neq j$ применим неравенство Коши–Буняковского: \[ |g_{ij}| = |\langle e_i,e_j\rangle| \le \|e_i\|\cdot\|e_j\| = 1. \] По условию $g_{ij} \in \{0,1,-1\}$. Если бы $|g_{ij}|=1$, то в неравенстве достигалось бы равенство, что возможно только при $e_i = \pm e_j$. Но векторы $e_i$ и $e_j$ различны и линейно независимы (базис), поэтому $e_i \neq \pm e_j$ при $i\neq j$. Следовательно, $|g_{ij}|<1$, и единственный возможный вариант из $\{0,1,-1\}$ — это $0$.

Итак, $g_{ij}=0$ при $i\neq j$, а $g_{ii}=1$. Матрица Грама является единичной, что означает ортонормированность базиса $\{e_i\}$.

Что и требовалось доказать.