Задача 25.2

Условие. Может ли скалярное произведение в вещественном \(n\)-мерном линейном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов:

1) \(x_1y_1 + 2x_2y_2,\)

а) \(n = 2;\)

б) \(n = 3;\)

2) \(x_1y_1 + x_2,\) \(n = 2;\)

3) \(3x_1y_1 + 2x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2,\) \(n = 2;\)

4) \(2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2,\) \(n = 2;\)

5) \(x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + x_2y_2 + x_3y_3,\) \(n = 3.\)

Решение. Проверим аксиомы скалярного произведения (симметричность, билинейность, положительная определённость).

1) \(f(x,y) = x_1y_1 + 2x_2y_2\).

а) \(n = 2\). Симметричность очевидна. Билинейность выполнена (сумма произведений координат с коэффициентами). Проверим положительную определённость: \(f(x,x) = x_1^2 + 2x_2^2 \ge 0\), причём \(f(x,x) = 0 \iff x_1=0, x_2=0\), т.е. \(x=0\). Все аксиомы выполнены. Ответ: да.

б) \(n = 3\). Та же формула доопределена на третьей координате нулевым вкладом: фактически \(f(x,y) = x_1y_1 + 2x_2y_2 + 0\cdot x_3y_3\). Тогда для ненулевого вектора \(x = (0,0,1)\) имеем \(f(x,x) = 0\), что нарушает положительную определённость. Ответ: нет.

2) \(f(x,y) = x_1y_1 + x_2,\ \ n = 2\). Функция несимметрична: \(x_1y_1 + x_2 \neq y_1x_1 + y_2\) в общем случае. Кроме того, она не линейна по второму аргументу (присутствует свободный член \(x_2\) без \(y_2\)). Ответ: нет.

3) \(f(x,y) = 3x_1y_1 + 2x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2,\ \ n = 2\). Нарушена симметричность: коэффициент при \(x_1y_2\) равен 2, при \(x_2y_1\) — 1. Симметризованная матрица формы имеет внедиагональные элементы \(\frac{2+1}{2} = 1.5\), что не соответствует исходному заданию (необходимо \(x_1y_2 = x_2y_1\)). Также это не позволяет записать форму как \(x^T A y\) с симметричной матрицей \(A\), что требуется для скалярного произведения. Ответ: нет. (Заданная функция несимметрична.)

4) \(f(x,y) = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2,\ \ n = 2\). Форма симметрична и билинейна. Её матрица: \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Проверим положительную определённость по критерию Сильвестра: \(\Delta_1 = 2 > 0\), \(\Delta_2 = \det A = 4 - 1 = 3 > 0\). Матрица положительно определена. Ответ: да.

5) \(f(x,y) = x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + x_2y_2 + x_3y_3,\ \ n = 3\). Форма симметрична и билинейна. Матрица порядка 3: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Главные миноры: \(\Delta_1 = 1 > 0\), \(\Delta_2 = 1\cdot 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3 < 0\). По критерию Сильвестра матрица не является положительно определённой (есть отрицательный минор). Ответ: нет.

Сводка ответов: 1а) да; 1б) нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет.