Вычислить:

a) $\begin{pmatrix}2&1&1\\3&1&0\\0&1&2\end{pmatrix}^2$; b) $\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}^3$; c) $\begin{pmatrix}3&2\\-4&-2\end{pmatrix}^5$; d) $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n$; e) $\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}^n$.

а) Прямым умножением матрицы на себя: $$\begin{pmatrix}2&1&1\\3&1&0\\0&1&2\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}7&4&4\\9&4&3\\3&3&4\end{pmatrix}.$$

b) $M=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$: $M^2=\begin{pmatrix}5&5\\5&10\end{pmatrix}$, $M^3=M^2M=\begin{pmatrix}15&20\\20&35\end{pmatrix}$.

c) Для $M=\begin{pmatrix}3&2\\-4&-2\end{pmatrix}$ по теореме Гамильтона–Кэли ($\operatorname{tr}M=1$, $\det M=2$) выполняется $M^2=M-2E$. Отсюда по индукции $M^n=\alpha_nM+\beta_nE$ с $\alpha_1=1,\beta_1=0$ и рекуррентой $\alpha_{n+1}=\alpha_n+\alpha_{n-1}\cdot(-2)/\dots$; проще последовательно: $M^2=M-2E$, $M^3=-M-2E$, $M^4=-3M+2E$, $M^5=-M+6E$. Значит $$M^5=-\begin{pmatrix}3&2\\-4&-2\end{pmatrix}+6E=\begin{pmatrix}3&-2\\4&8\end{pmatrix}.$$

d) По индукции: $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}$, поэтому $$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}.$$

e) Это матрица поворота на угол $\varphi$; $n$-кратное применение поворота даёт поворот на угол $n\varphi$ (что также следует из формулы Муавра для $\cos\varphi+i\sin\varphi$): $$\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\varphi&-\sin n\varphi\\\sin n\varphi&\cos n\varphi\end{pmatrix}.$$

a) $\begin{pmatrix}7&4&4\\9&4&3\\3&3&4\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}15&20\\20&35\end{pmatrix}$; c) $\begin{pmatrix}3&-2\\4&8\end{pmatrix}$; d) $\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$; e) $\begin{pmatrix}\cos n\varphi&-\sin n\varphi\\\sin n\varphi&\cos n\varphi\end{pmatrix}$.