Умножить матрицы:

a) $\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}3&5\\6&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-3&2\end{pmatrix}$;

c) $\begin{pmatrix}3&1&1\\2&1&2\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&-1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$; d) $\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-2&-4\\-1&-2&-4\\1&2&4\end{pmatrix}$;

e) $\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\3&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3&1\\-1&1&0\\1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\3&1&1\end{pmatrix}$;

f) $\begin{pmatrix}a&b&c\\c&b&a\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a&c\\1&b&b\\1&c&a\end{pmatrix}$; g) $\begin{pmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-f&e&-d\\f&0&-c&b\\-e&c&0&-a\\d&-b&a&0\end{pmatrix}$.

Каждый элемент произведения — скалярное произведение строки первой матрицы на столбец второй.

а) $\begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot1&2\cdot(-1)+1\cdot1\\3\cdot1+2\cdot1&3\cdot(-1)+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\5&-1\end{pmatrix}$.

b) $\begin{pmatrix}3\cdot2+5(-3)&3+5\cdot2\\6\cdot2+(-1)(-3)&6+(-1)2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&13\\15&4\end{pmatrix}$.

c) Построчно: $(3+2+1,\,3-1+0,\,-3+1+1)=(6,2,-1)$; $(2+2+2,\,2-1+0,\,-2+1+2)=(6,1,1)$; $(1+4+3,\,1-2+0,\,-1+2+3)=(8,-1,4)$. $$\begin{pmatrix}6&2&-1\\6&1&1\\8&-1&4\end{pmatrix}.$$

d) Строки первой матрицы пропорциональны $(1,2,3)$, а столбцы второй — вектору $(-1,-1,1)^{\mathsf T}$; их скалярное произведение $1\cdot(-1)+2\cdot(-1)+3\cdot1=0$ для каждого столбца. Результат — нулевая матрица $3\times3$.

e) Сначала $\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\3&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3&1\\-1&1&0\\1&2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&7&0\\1&5&-2\\6&12&2\end{pmatrix}$, затем это на третий сомножитель: $$\begin{pmatrix}1&7&0\\1&5&-2\\6&12&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\3&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&9&15\\-5&5&9\\12&26&32\end{pmatrix}.$$

f) Обозначим $s=a+b+c$, $q=a^2+b^2+c^2$, $p=2ac+b^2$. Прямым умножением: $$\begin{pmatrix}s&q&p\\s&p&q\\3&s&s\end{pmatrix}.$$

g) Обозначим $p=af-be+cd$. Прямая проверка всех 16 элементов (используя кососимметричность обеих матриц) даёт, что произведение — диагональная матрица: все внедиагональные элементы взаимно уничтожаются, а на диагонали всюду получается $p$. Итог: $AB=p\cdot E_4$, где $E_4$ — единичная матрица 4-го порядка.

a) $\begin{pmatrix}3&-1\\5&-1\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}-9&13\\15&4\end{pmatrix}$; c) $\begin{pmatrix}6&2&-1\\6&1&1\\8&-1&4\end{pmatrix}$; d) нулевая матрица;

e) $\begin{pmatrix}1&9&15\\-5&5&9\\12&26&32\end{pmatrix}$; f) $\begin{pmatrix}a{+}b{+}c&a^2{+}b^2{+}c^2&2ac{+}b^2\\a{+}b{+}c&2ac{+}b^2&a^2{+}b^2{+}c^2\\3&a{+}b{+}c&a{+}b{+}c\end{pmatrix}$; g) $(af-be+cd)\,E_4$.