1) Доказать, что $n$-мерное линейное пространство является прямой суммой подпространства векторов, все координаты которых равны между собой, и подпространства векторов, сумма координат которых равна $0$.

2) Дана матрица $A$ из $n$ строк. Доказать, что $n$-мерное арифметическое пространство является прямой суммой линейной оболочки столбцов $A$ и подпространства решений системы линейных уравнений $A^T x = 0$.

Пусть $A$ — матрица размера $n \times m$ (имеет $n$ строк, число столбцов произвольно). Обозначим: - $\operatorname{Im} A$ — линейная оболочка столбцов $A$ (подпространство в $\mathbb{R}^n$); - $\operatorname{Ker} A^T = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid A^T x = 0 \}$ — множество решений системы.

1) Ортогональность. Возьмём $y \in \operatorname{Im} A$, тогда $y = A z$ для некоторого $z \in \mathbb{R}^m$. Для любого $x \in \operatorname{Ker} A^T$ имеем $A^T x = 0$. Скалярное произведение: \[ (y, x) = (A z)^T x = z^T (A^T x) = z^T \cdot 0 = 0. \] Следовательно, $\operatorname{Im} A \perp \operatorname{Ker} A^T$, и их пересечение равно $\{0\}$.

2) Размерности. Ранг матрицы: $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^T$. $\dim \operatorname{Im} A = \operatorname{rank} A$. По теореме о ранге для $A^T$: $\dim \operatorname{Ker} A^T = n - \operatorname{rank} A^T = n - \operatorname{rank} A$. Сумма размерностей: \[ \dim \operatorname{Im} A + \dim \operatorname{Ker} A^T = \operatorname{rank} A + (n - \operatorname{rank} A) = n. \]

3) Прямая сумма. Так как подпространства ортогональны (значит, их сумма прямая) и сумма их размерностей равна размерности всего пространства, то \[ \mathbb{R}^n = \operatorname{Im} A \oplus \operatorname{Ker} A^T. \]

Что и требовалось доказать.