Условие. Доказать, что многочлены \(2t + t^5\), \(t^3 - t^5\), \(t + t^3\) образуют базис в пространстве нечётных многочленов степени не выше \(5\), и найти координатный столбец многочлена \(5t - t^3 + t^5\) в этом базисе.

Пространство нечётных многочленов степени \(\le 5\) состоит из многочленов вида \(a t + b t^3 + c t^5\), его размерность равна \(3\). Стандартный базис: \(\{t,\ t^3,\ t^5\}\).

Запишем координаты данных многочленов в этом базисе:

\[ \begin{aligned} p_1 &= 2t + t^5 \quad \rightarrow \quad (2,\ 0,\ 1),\\ p_2 &= t^3 - t^5 \quad \rightarrow \quad (0,\ 1,\ -1),\\ p_3 &= t + t^3 \quad \rightarrow \quad (1,\ 1,\ 0). \end{aligned} \]

Составим матрицу из координат (строки) и вычислим её определитель:

\[ \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 2\cdot(1\cdot0 - (-1)\cdot1) - 0 + 1\cdot(0\cdot1 - 1\cdot1) = 2\cdot(0+1) + 1\cdot(0-1) = 2 - 1 = 1 \neq 0. \]

Определитель отличен от нуля, значит, векторы линейно независимы. Так как их три и размерность пространства равна трём, они образуют базис.

Найдём координаты многочлена \(q = 5t - t^3 + t^5\) (координаты \((5,\ -1,\ 1)\)) в этом базисе. Пусть \(q = \alpha p_1 + \beta p_2 + \gamma p_3\). Получаем систему:

\[ \begin{cases} 2\alpha + \gamma = 5,\\ \beta + \gamma = -1,\\ \alpha - \beta = 1. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \(\gamma = 5 - 2\alpha\). Из второго: \(\beta = -1 - \gamma = -1 - (5 - 2\alpha) = -6 + 2\alpha\). Подставим в третье: \(\alpha - (-6 + 2\alpha) = 1 \;\Rightarrow\; \alpha + 6 - 2\alpha = 1 \;\Rightarrow\; -\alpha + 6 = 1 \;\Rightarrow\; \alpha = 5\). Тогда \(\gamma = 5 - 10 = -5\), \(\beta = -6 + 10 = 4\).

Таким образом, координатный столбец многочлена \(q\) в базисе \(\{p_1,p_2,p_3\}\) равен

\[ \boxed{\begin{pmatrix}5\\4\\-5\end{pmatrix}}. \]