Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

a) $$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 2\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=-\left(\lambda-1\right)^{2}\left(\lambda+1\right)$$

$$A-E=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1\\ 2 & -4 & 2\\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -1\\ 2 & -4 & 2\\ -1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$

$$e_{1}=(1,0,-1)^{T}; \ \ e_{2}=(0,1,2)^{T}-e_{1}\cdot\frac{-2}{2}=(0,1,2)^{T}+(1,0,-1)^{T}=(1,1,1)^{T}$$

$$e_{3}=(-1,2,-1)^{T}$$

Нормируем

$$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{T}; \ \ f_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{T}; \ \ f_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1)^{T};$$

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

$$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2\\ 2 & 2 & -1\\ -1 & 2 & 2 \end{array}\right).$$

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

а) $$A=\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right) $$ при $\alpha\neq k\pi;$

$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-2\lambda\cos\alpha+1=\left(\cos\alpha+\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)\left(\cos\alpha-\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)=\left(e^{i\alpha}-\lambda\right)\left(e^{-i\alpha}-\lambda\right).$$

$$A-e^{i\alpha}E=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha-e^{i\alpha} & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha-e^{i\alpha} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -i\sin\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & -i\sin\alpha \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} -i\sin\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & -i\sin\alpha\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sin\alpha\\ 0 & -i\sin\alpha\\ 1 & 0\\ -i & 1 \end{array}\right)$$

$$e_{1}=\left(1,-i\right)^{T}; \ \ e_{2}=\left(1,i\right)^{T}$$

Проверим ортогональность $$\left(e_{1},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i)^{*}\cdot(i)=1-1=0.$$

Нормируем:

$$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,-i\right)^{T}; \ \ f_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,i\right)^{T}$$

$$A=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} 1+i & 1\\ -1 & 1-i \end{array}\right)}$$

$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\lambda+1=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+i\sqrt{\frac{2}{3}}-\lambda\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-i\sqrt{\frac{2}{3}}-\lambda\right),$$

$$A-e^{i\alpha}E=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc} i(1-\sqrt{2}) & 1\\ -1 & -i(1+\sqrt{2}) \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} i(1-\sqrt{2}) & 1\\ -1 & -i(1+\sqrt{2})\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -i(1+\sqrt{2})\\ 1 & 0\\ -i(1-\sqrt{2}) & 1 \end{array}\right)$$

$$e_{1}=\left(1,-i(1-\sqrt{2})\right)^{T};e_{2}=\left(1,-i(1+\sqrt{2})\right)^{T}$$

Проверим ортогональность $$\left(e_{1},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i(1-\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1+\sqrt{2}))=1\cdot1+(1-\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})=1-1=0.$$

Нормируем:

$$\left(e_{1},e_{1}\right)=1\cdot1+(-i(1-\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1-\sqrt{2}))=1\cdot1+(1-\sqrt{2})^{2}=4-2\sqrt{2}.$$

$$\left(e_{2},e_{2}\right)=1\cdot1+(-i(1+\sqrt{2}))^{*}\cdot(-i(1+\sqrt{2}))=1\cdot1+(1+\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}.$$

$$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}\left(1,-i(1-\sqrt{2})\right)^{T};f_{2}=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\left(1,-i(1+\sqrt{2})\right)^{T}$$

Доказать, что унитарная матрица порядка 2 с определителем, равным 1, подобна вещественной ортогональной матрице.

Унитарность означает $A^{*}=A^{-1},$ тогда пусть

$$A=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)$ с условием $\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1,$$

следовательно

$$A^{*}=\left(\begin{array}{cc} \overline{a_{11}} & \overline{a_{21}}\\ \overline{a_{21}} & \overline{a_{22}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a_{22} & -a_{21}\\ -a_{12} & a_{11} \end{array}\right)=A^{-1}$$

и приходим к $$a_{11}=\overline{a_{22}}$; $a_{21}=-\overline{a_{21}};$$ $$a_{12}=-\overline{a_{12}}.$$

Характеристический многочлен:

$$\chi\left(\lambda\right)=\lambda^{2}-\left(a_{11}+a_{22}\right)\lambda+1=\lambda^{2}-2\text{Re}\left(a_{11}\right)\lambda+1=\lambda^{2}-2a\lambda+1$$

$$\lambda_{1;2}=a\pm\sqrt{a^{2}-1}$$

если $a>0,$ то матрица $A$ подобна диагональной, следовательно, подобна вещественной ортогональной,

если $a<0,$ то $$\lambda_{1;2}=a\pm\sqrt{a^{2}-1}=a\pm i\sqrt{1-a^{2}}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha}$$ и

матрица $A$ подобна диагональной

$$A=\ensuremath{\left(\begin{array}{cc} e^{i\alpha} & 0\\ 0 & e^{-i\alpha} \end{array}\right)}\sim\ensuremath{\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right)}$$

по предыдущей задаче.

Пусть $A$ — эрмитов оператор. Доказать, что:

а) оператор $A-iE$ обратим;

б) оператор $B=\left(A-iE\right)^{-1}\left(A+iE\right)$ унитарен;

в) оператор $B-E$ обратим;

г) $A=i\left(B-E\right)^{-1}\left(B+E\right)$

a) Оператор $A$ эрмитов, значит выполняется равенство $A^{*}=\overline{A}^{T}=A$

Пусть

$$A=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)$$

тогда $$\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \overline{a_{11}} & \overline{a_{21}}\\ \overline{a_{21}} & \overline{a_{22}} \end{array}\right),$$ следовательно, $a_{11}=\overline{a_{11}},$ $a_{22}=\overline{a_{22}}$ — вещественны и

$$A=\left(\begin{array}{cc} a & c+id\\ c-id & b \end{array}\right),$ где $a,b,c,d\in\mathbb{R}$$

и тогда $$\det A=ab-\left(c^{2}+d^{2}\right)\in\mathbb{R},$$ причём $\det A<0$ если $a=0$ и/или $b=0.$

$$\det\left(A-iE\right)=\det\left(\begin{array}{cc} a-i & c+id\\ c-id & b-i \end{array}\right)=\left(a-i\right)\left(b-i\right)-\left(c^{2}+d^{2}\right)=\det A-i(a+b)-1$$