Пусть $(e_{1},e_{2})$ — ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор $A$ имеет в базисе $(e_{1},e_{1}+e_{2})$ матрицу $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array}\right).$$ Найти матрицу оператора $A^{*}$ в этом базисе.

В базисе $(e_{1},e_{1}+e_{2})$ матрица Грамма $$G=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right),$$ тогда

$$A^{*}=G^{-1}A^{T}G=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 1 & -1 \end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 3 & 6\\ -1 & -3 \end{array}\right).$$

Доказать, что ядро и образ сопряжённого оператора $A^{*}$ являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора $A$.

Пусть имеется инвариантное подпространство $L_{1}\subset L=L_{1}\oplus L_{1}^{\bot}$ такое, что $AL_{1}\subseteq L_{1}$ тогда для произвольных $x\in L_{1},y\in L_{1}^{\bot}$ выполняется $0=\left(Ax,y\right)=\left(x,A^{*}y\right),$ следовательно $A^{*}L_{1}^{\bot}\subseteq L_{1}^{\bot}$.

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

$$A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{array}\right).$$

$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)$

$$A-E=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\Rightarrow$ $f_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)\Rightarrow f_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),$$

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 17 & -8 & 4\\ -8 & 17 & -4\\ 4 & -4 & 11 \end{array}\right)$$

$\chi(\lambda)=-(\lambda-27)(\lambda-9)^{2}$

$$\left(\begin{array}{ccc} 8 & -8 & 4\\ -8 & 8 & -4\\ 4 & -4 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 2\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right).$$

Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:

$$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 2+i2\\ 2-i2 & 1 \end{array}\right)$$

$\chi(\lambda)=\lambda^{2}-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)$

$$A+E=\left(\begin{array}{cc} 4 & 2+i2\\ 2-i2 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 4 & 2\left(1+i\right)\\ 2\left(1-i\right) & 2\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 0 & 2\left(1+i\right)\\ 0 & 2\\ 1 & 0\\ -\left(1-i\right) & 1 \end{array}\right)$$

$f_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,i-1\right)$

$e_{2}=\left(1+i,1\right)$

$$f_{2}=e_{2}-f_{1}\frac{\left(f_{1},e_{2}\right)}{f_{1}^{2}}=e_{2}-f_{1}\frac{\left(f_{1},e_{2}\right)}{f_{1}^{2}}=\left(1+i,1\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1,i-1\right)\left(1+i+(-1)-1\right)=\left(1+i,1\right)\to\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1+i,1\right).$$