43.19. Найти проекцию вектора $x$ на подпространство $L$ и ортогональную составляющую вектора $x$. Найти расстояние от точки с радиус вектором $x$ до подпространства $L$, найти угол между $x$ и $L$)

а) $x=(4,-1,-3,4)$ и $L=\left\langle (1,1,1,1),(1,2,2,-1),(1,0,0,3)\right\rangle $;

$e_{1}=f_{1}=(1,1,1,1)$

$f_{2}=e_{2}-\alpha_{1}f_{1}$

$\alpha_{1}=\frac{\left(e_{2},f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{1+2+2-1}{1+1+1+1}=1$

$f_{2}=(1,2,2,-1)-(1,1,1,1)=(0,1,1,-2)$

$f_{3}=e_{3}-\alpha_{1}f_{1}-\alpha_{2}f_{2}$

$\alpha_{1}=\frac{\left(e_{3},f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{1+3}{1+1+1+1}=1$

$\alpha_{2}=\frac{\left(e_{3},f_{2}\right)}{\left(f_{2},f_{2}\right)}=\frac{-6}{1+1+4}=-1$

$f_{3}=(1,0,0,3)-(1,1,1,1)+(0,1,1,-2)=(0,0,0,0)$

Распишем вектор $x=x_{\Vert}+x_{\bot},$ где $x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}=x_{\Vert}\in L,$ тогда $x=(4,-1,-3,4)$

$x_{1}=\frac{\left(x,f_{1}\right)}{\left(f_{1},f_{1}\right)}=\frac{4-1-3+4}{1+1+1+1}=1;$$x_{2}=\frac{\left(x,f_{2}\right)}{\left(f_{2},f_{2}\right)}=\frac{0-1-3-8}{1+1+4}=-2$

$x_{\Vert}=(1,1,1,1)-2(0,1,1,-2)=(1,-1,-1,5)$

$x_{\bot}=x-x_{\Vert}=(4,-1,-3,4)-(1,-1,-1,5)=(3,0,-2,-1)$