Решить уравнения:

$$X^{2}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ -1 & 5 \end{array}\right).$$

Составим характеристический многочлен

$$|X^{2}-\lambda E|=\lambda^{2}-8\lambda+16=(\lambda-4)^{2}.$$

$I$. Найдём первым способом.

$$X^{2}-4E=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \hline -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1\\ \hline 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

собственный вектор $x_{1}=(1,1)^{T},$ размерность собственного пространства — $1$. Базис $x_{1}=(1,1)^{T}=\left(X-4E\right)(0,1)^{T}$; $x_{2}=(0,1)$.

Матрица преобразования: $$T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right) \ \text{ и обратная } \ T^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right).$$ Жорданова форма: $$J_{X^{2}}=T^{-1}X^{2}T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ -1 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 4 & 1\\ 4 & 5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 1\\ 0 & 4 \end{array}\right).$$

Вычисляем функцию от матрицы

$$X=\sqrt{X^{2}}=\sqrt{TJ_{X^{2}}T^{-1}}=T\sqrt{J_{X^{2}}}T^{-1}=T\left(\begin{array}{cc} f(4) & f'(4)\\ 0 & f(4) \end{array}\right)T^{-1}=$$

$$=T\left(\begin{array}{cc} \sqrt{4} & \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4}}\\ 0 & \sqrt{4} \end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{cc} 2 & \frac{1}{4}\\ 0 & 2 \end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 2 & \frac{1}{4}\\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{cc} 2 & 0,25\\ 2 & 2,25 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1,75 & 0,25\\ -0,25 & 2,25 \end{array}\right).$$

$II.$ Находим вторым способом. Для этого используем формулу для двумерного случая с вырожденным корнем:

$$f\left(A\right)=f\left(\lambda\right)E+f'\left(\lambda\right)\left(A-\lambda E\right).$$

тогда

$$\sqrt{X^{2}}=\sqrt{4}E+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4}}\left(\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ -1 & 5 \end{array}\right)-\lambda E\right)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right)+0,25\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1,75 & 0,25\\ -0,25 & 2,25 \end{array}\right).$$

$$ X^{2}=\left(\begin{array}{cc} 6 & 2\\ 3 & 7 \end{array}\right).$$

Характеристический многочлен

$$|X^{2}-\lambda E|=\lambda^{2}-13\lambda+36=(\lambda-4)(\lambda-9).$$

$$f\left(A\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(A-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(A-\lambda_{1}E\right),$$

следовательно

$$X=\sqrt{X^{2}}=\frac{\sqrt{4}}{4-9}\left(X^{2}-9E\right)+\frac{\sqrt{9}}{9-4}\left(X^{2}-4E\right)=-\frac{2}{5}\left(X^{2}-9E\right)+\frac{3}{5}\left(X^{2}-4E\right)=$$

$$-\frac{2}{5}\left(X^{2}-9E\right)+\frac{3}{5}\left(X^{2}-4E\right)=\frac{1}{5}X^{2}+\frac{6}{5}E=\pm\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc} 12 & 2\\ 3 & 13 \end{array}\right).$$

Используя жорданову форму и задачи 17.7-17.9, вычислить:

$$A^{50}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)^{50}.$$

Характеристический многочлен

$$|A-\lambda E|=\lambda^{2}-4\lambda+4=(\lambda-2)^{2}.$$

используя выражение для вырожденного корня

$$f\left(A\right)=f\left(\lambda\right)E+f'\left(\lambda\right)\left(A-\lambda E\right).$$

$$A^{50}=2^{50}E+50\cdot2^{49}\left(A-\lambda E\right)=2^{50}\left(E+25\left(\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)-2E\right)\right)=$$

$$2^{50}\left(E+25\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\right)=2^{50}\left(\begin{array}{cc} -24 & 25\\ -25 & 26 \end{array}\right).$$

$$A^{64}=\left(\begin{array}{cc} 7 & -4\\ 14 & -8 \end{array}\right)^{64}.$$

Характеристический многочлен

$$|A-\lambda E|=\lambda^{2}+\lambda=\lambda(\lambda+1).$$

используя выражение

$$f\left(A\right)=\frac{f\left(\lambda_{1}\right)}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left(A-\lambda_{2}E\right)+\frac{f\left(\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(A-\lambda_{1}E\right).$$

$$A^{64}=-\left(-1\right)^{64}\left(\begin{array}{cc} 7 & -4\\ 14 & -8 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -7 & 4\\ -14 & 8 \end{array}\right).$$