Найти жорданову форму матрицы

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4\\ 4 & -7 & 8\\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right)$$

Запишем характеристический многочлен

$$|A-Ex|=-x^{3}+x^{2}+5x+3=-(x-3)(x+1)^{2}.$$

Далее:

$$A-E(-1)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -6 & 8\\ 6 & -7 & 8 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right).$$

Следовательно собственный вектор $X_{1}=(1,2,1)^{T}$.

Раз геометрическая размерность, т.е. размерность собственного пространства $\dim \left\langle X_1 \right\rangle = 1$ и алгебраическая размерность, т.е. кратность корня $k=2$ не совпадают, то жорданова клетка будет:

$$J_{-1}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 0 & -1 \end{array}\right).$$

Рассмотрим вторую степень

$$\left(A-E(-1)\right)^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -6 & 8\\ 6 & -7 & 8 \end{array}\right)^{2}\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -6 & 8\\ 6 & -7 & 8 \end{array}\right)=16\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1\\ 2 & -2 & 2\\ 2 & -2 & 2 \end{array}\right),$$

тогда корневые вектора определяются уравнением $x_{2}=x_{1}+x_{3}$.

Один вектор $X_{1}$ мы уже знаем, второй выберем линейнонезависимый $X_{2}=(1,1,0)^{T}$. Далее найдём собственный вектор другого собственного числа

$$A-3E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -3 & 4\\ 4 & -10 & 8\\ 6 & -7 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -2 & -3 & 4\\ 0 & -16 & 16\\ 0 & -16 & 16 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).$$

Следовательно собственный вектор $X_{3}=(1,2,2)^{T}$.

Жорданова матрица:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right).$$

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 8\\ 3 & -1 & 6\\ -2 & 0 & -5 \end{array}\right).$$

Характеристический многочлен

$$\det(A-\lambda E)=-(\lambda+1)^{3}.$$

$$A+E=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 8\\ 3 & 0 & 6\\ -2 & 0 & -4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 4 & 0 & 8\\ 3 & 0 & 6\\ -2 & 0 & -4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 4 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

Геометрическая размерность, т.е. размерность собственного пространства $\dim=2$ и алгебраическая размерность, т.е. кратность корня не совпадают $k=3$, то жорданова клетка будет:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right).$$

$$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -3 & 0 & 3\\ -2 & -6 & 0 & 13\\ 0 & -3 & 1 & 3\\ -1 & -4 & 0 & 8 \end{array}\right).$$

Характеристический многочлен

$$\det(A-\lambda E)=(\lambda-1)^{4}.$$

$$A-E=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -3 & 0 & 3\\ -2 & -7 & 0 & 13\\ 0 & -3 & 0 & 3\\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 0 & -3 & 0 & 3\\ -2 & -7 & 0 & 13\\ 0 & -3 & 0 & 3\\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{array}\right)\to$$

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 0 & -3 & 0 & 0\\ -2 & -7 & 0 & 6\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ -1 & -4 & 0 & 3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \hline 0 & -3 & 0 & 0\\ -2 & -7 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ -1 & -4 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

Геометрическая размерность $\dim=2$, алгебраическая $k=4$, в таком случае жорданова клетка может быть вида

$$J_{1}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=E+S_{1},$$ а может $$J_{2}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=E+S_{2},$$

где $S_{1},S_{2}$ нильпотентные матрицы, такие что

$$S_{1}^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

и

$$S_{2}^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

Но тогда рассмотрим вторую степень нашей матрицы

$$\left(A-E\right)^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -3 & 0 & 3\\ -2 & -7 & 0 & 13\\ 0 & -3 & 0 & 3\\ -1 & -4 & 0 & 7 \end{array}\right)^{2}=$$

$$\left(\begin{array}{cccc} 3 & 9 & 0 & -18\\ 1 & 3 & 0 & -6\\ 3 & 9 & 0 & -18\\ 1 & 3 & 0 & -6 \end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$

значит реализуется второй вариант:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

Найти жорданову форму матрицы линейного оператора $A$ и базис $(f_{1},\ldots,f_{n}),$ в котором $A$ имеет эту матрицу, если в базисе $(e_{1},\ldots,e_{n})$ оператор $A$ задается матрицей:

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -3\\ 4 & 10 & -12\\ 3 & 6 & -7 \end{array}\right).$$

Характеристический многочлен

$$\det(A-\lambda E)=-(\lambda-2)^{3}$$

$$A-2E=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3\\ 4 & 8 & -12\\ 3 & 6 & -9 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 2 & -3\\ 4 & 8 & -12\\ 3 & 6 & -9 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

Образ преобразования: $\text{Im}(A-2E)=\left\langle (1,4,3)^{T}\right\rangle $,

ядро: $\ker(A-2E)=\left\langle (-2,1,0)^{T},(1,1,1)^{T}\right\rangle $.

При этом образ лежит в ядре: $\text{Im}(A-2E)\subset\ker(A-2E),$тогда в качестве нового базисв выберем $f_{2}=(1,0,0)^{T};f_{1}=Af_{2}$ и произвольный линейнонезависмый от $f_{1}$ вектор $f_{3}=(-2,1,0)^{T}.$ Матрица перехода к Жордановой матрице $T=(f_{1},f_{2},f_{3})$.

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ -3 & -3 & 3\\ -2 & -2 & 2 \end{array}\right).$$

Характеристический многочлен

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}.$$

$$A-0E=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ -3 & -3 & 3\\ -2 & -2 & 2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

Базис $f_{2}=(1,0,0)^{T};f_{1}=Af_{2}=(1,-3,-2)^{T};f_{3}=(-1,1,0)$ (или $f_{3}=(1,0,1)$ или любой другой линейно независимый от $f_{1}$).

Матрица перехода к Жордановой матрице $T=(f_{1},f_{2},f_{3})$.

Вычислить степени квадратной матрицы

$$H_{n}=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right).$$

При умножении $H_{n}H_{n}$ диагональные единицы смещаются в сторону верхнего правого угла. Так, что при $H_{n}^{n-1}$ останется только одна единица в правом верхнем углу. При $H_{n}^{n}=0.$

Пусть задана квадратная матрица

$$J=\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right)$$

размера $n$. Доказать, что если $f(x)$ — многочлен, то

$$f(\lambda)=\left(\begin{array}{ccccc} f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!}\\ 0 & f(\lambda) & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \cdots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda)}{(n-2)!}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{f'(\lambda)}{1!}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & f(\lambda) \end{array}\right).$$

Рассмотрим случай

$$J=\left(\begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right)=\lambda E+\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\lambda E+S,$$

тогда $$J^{2}=\left(\lambda E+S\right)^{2}=\lambda^{2}E+2\lambda S+S^{2}=\left(\begin{array}{ccc} \lambda^{2} & 2\lambda & 1\\ 0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\ 0 & 0 & \lambda^{2} \end{array}\right),$$

$$J^{3}=\left(\lambda E+S\right)^{3}=\lambda^{3}E+3\lambda^{2}S+3\lambda S^{2}+S^{3}=$$

$$\lambda^{3}E+3\lambda^{2}S+3\lambda S^{2}=\left(\begin{array}{ccc} \lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda\\ 0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2}\\ 0 & 0 & \lambda^{3} \end{array}\right)$$

и $$J^{n}=\left(\lambda E+S\right)^{n}=\lambda^{n}E+n\lambda^{n-1}S+\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}S^{2}+\ldots=$$

$$\left(\begin{array}{ccc} \lambda^{n} & n\lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}\\ 0 & \lambda^{n} & n\lambda^{n-1}\\ 0 & 0 & \lambda^{n} \end{array}\right)$$ при $n\geqslant3$. Тогда для многочлена $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots$ запишем

$$f(J)=Ea_{0}+a_{1}J+a_{2}J^{2}+a_{3}J^{3}+\ldots=$$

$$\left(\begin{array}{ccc} a_{0} & 0 & 0\\ 0 & a_{0} & 0\\ 0 & 0 & a_{0} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} a_{1}\lambda & a_{1} & 0\\ 0 & a_{1}\lambda & a_{1}\\ 0 & 0 & a_{1}\lambda \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} a_{2}\lambda^{2} & a_{2}2\lambda & a_{2}\\ 0 & a_{2}\lambda^{2} & a_{2}2\lambda\\ 0 & 0 & a_{2}\lambda^{2} \end{array}\right)+$$

$$\left(\begin{array}{ccc} a_{3}\lambda^{3} & a_{3}3\lambda^{2} & a_{3}3\lambda\\ 0 & a_{3}\lambda^{3} & a_{3}3\lambda^{2}\\ 0 & 0 & a_{3}\lambda^{3} \end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{ccc} a_{n}\lambda^{n} & a_{n}n\lambda^{n-1} & a_{n}\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}\\ 0 & a_{n}\lambda^{n} & a_{n}n\lambda^{n-1}\\ 0 & 0 & a_{n}\lambda^{n} \end{array}\right).$$

На диагонали $$a_{0}+a_{1}\lambda+a_{2}\lambda^{2}+a_{3}\lambda^{3}+\ldots+a_{n}\lambda^{n}=f(\lambda),$$

над диагональю $$a_{1}+a_{2}2\lambda+a_{3}3\lambda^{2}+\ldots+a_{n}n\lambda^{n-1}=f'(\lambda)$$

и в углу $$a_{2}+a_{3}3\lambda+\ldots+a_{n}\frac{n(n-1)}{2!}\lambda^{n-2}=\frac{f''(\lambda)}{2!}.$$

Общий случай получается аналогично.

Вычислить $e^{A}$, где

$$A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ -4 & -2 \end{array}\right).$$

Запишем характеристический многочлен $|A-Ex|=x^{2}$.

$$A\to\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \hline 2 & 1\\ -4 & -2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -2 & 1\\ \hline 0 & 1\\ 0 & -2 \end{array}\right),$$

тогда матрица перехода к жордановой $$T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array}\right)$$ и $$ A=TJT^{-1}=T\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)T^{-1}. $$

Найдём степени матрицы: $$A^{2}=TJT^{-1}TJT^{-1}=TJ^{2}T^{-1},$$ далее $$A^{n}=A^{n-1}A=TJ^{n-1}T^{-1}TJT^{-1}=TJ^{n}T^{-1}.$$ Получается, что достаточно знать степени жордановой матрицы и матрицу перехода что бы вычислить степень экспоненты:

$$e^{A}=E+A+\frac{1}{2!}A^{2}+\ldots+\frac{1}{n!}A^{n}+\ldots=$$

$$T\left(E+J+\frac{1}{2!}J^{2}+\ldots+\frac{1}{n!}J^{n}+\ldots\right)T^{-1}=$$

$$T\left(\begin{array}{cc} e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)'\\ 0 & e^{\lambda} \end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{cc} e^{0} & e^{0}\\ 0 & e^{0} \end{array}\right)T^{-1}=$$

$$T\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ -4 & -1 \end{array}\right).$$

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Вырожденный корень $\lambda=0$.

Если как и раньше начнём искать ядро $$A\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$ то увидим, что геометрическая размерность $1,$ а алгебраическая $3$. В итоге найдём новый базис $$f_{3}=e_{3};f_{2}=Af_{3}=(2,6,0)^{T};f_{1}=Af_{2}=A^2f_{3}=(6,0,0)^{T}.$$

Матрица преобразования $$T=(f_{1},f_{2},f_{3})=\left(\begin{array}{ccc} 6 & 2 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

А выражение $$e^{A}=T\left(\begin{array}{ccc} e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)' & \frac{\left(e^{\lambda}\right)''}{2!}\\ 0 & e^{\lambda} & \left(e^{\lambda}\right)'\\ 0 & 0 & e^{\lambda} \end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 5\\ 0 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$