Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем $\mathbb{R}$ или над полем $\mathbb{C}$:

в) $$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & -5\\ 6 & 4 & -9\\ 5 & 3 & -7 \end{array}\right)$$

Запишем характеристический многочлен

$$|A-Ex|=-x^{3}+x^{2}=-x^{2}(x-1).$$

Найдём собственные вектора

$$A-E\cdot0=A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & -5\\ 6 & 4 & -9\\ 5 & 3 & -7 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & -5\\ 6 & 4 & -9\\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 3\\ 0 & -2 & 3\\ 1 & 1 & -2 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 3\\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right).$$

Получается, что размерность собственного пространства 1, следовательно матрица не диагонализируема в $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

Найти в трехмерном векторном пространстве все пространства, инвариантные относительно линейного оператора с матрицей

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 2\\ 2 & 0 & 2\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right).$$

Запишем характеристический многочлен

$$|A-Ex|=-x^{3}+5x^{2}-(4-2+6)x+(8-8+4)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4=0.$$

Один корень $x_{1}=1$. По схеме Горнера разделим многочлены

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & -1 & 5 & -8 & 4\\ \hline 1 & -1 & 4 & -4 & 0 \end{array}$$

в итоге $$|A-Ex|=-x^{3}+5x^{2}-8x+4=(1-x)(x^{2}-4x+4)=-(x-1)(x-2)^{2}.$$

$$(A-2E)x=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 2 & -2 & 2\\ -1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$

Найдём ядро преобразования

$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 2 & -2 & 2\\ 2 & -2 & 2\\ -1 & 1 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \hline 2 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right). $$

Собственное пространство двумерно, тогда базис $e_{1}=(1,1,0)^{T},e_{2}=(-1,0,1)^{T}$, значит в соответствующем базисе матрица диагональна.

$$(A-1E)x=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 2\\ 2 & -1 & 2\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \ \text{ собственный вектор } \ e_{3}=\left(\begin{array}{c} 2\\ 2\\ -1 \end{array}\right).$$

Тогда инвариантные подпространства: $\{0\},V,V_{1}=\left\langle e_{3}\right\rangle ,V_{2}=\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle ,\left\langle a\right\rangle ,$ где $a\in V_{2}$, кроме того $\left\langle e_{3},a\right\rangle $

В линейной оболочке функций $\cos x,\sin x,\ldots,\cos nx,\sin nx$ найти все подпространства, инвариантные относительно оператора:

a) $F(f)=\frac{df}{dx}$

Рассмотрим частный случай $n=2,$ тогда

$$F(\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x)\to(-\sin x,\cos x,-2\sin2x,\cos2x).$$

В итоге матрица преобразования $$ \left(\begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ будет блочно-диагональной, каждый блок инвариантно работает на своём подпространстве.

Найти собственные значения и корневые подпространства линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей:

б) $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4\\ 4 & -7 & 8\\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right).$$

Запишем характеристический многочлен

$$|A-Ex|=-x^{3}+x^{2}+5x+3=-(x-3)(x+1)^{2}.$$

$$A-E(-1)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -6 & 8\\ 6 & -7 & 8 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right).$$

Следовательно собственный вектор $X_{1}=(1,2,1)^{T}$ Т.е. подпространство одномерно, то рассмотрим

$$\left(A-E(-1)\right)^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 4\\ 4 & -6 & 8\\ 6 & -7 & 8 \end{array}\right)^{2}=16\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1\\ 2 & -2 & 2\\ 2 & -2 & 2 \end{array}\right),$$

тогда корневые вектора определяются уравнением $x_{2}=x_{1}+x_{3}.$ Один собственный вектор можно оставить, а второй взять линейно независимым, например $X_2=(1,1,0)^T$.

$$A-3E=\left(\begin{array}{ccc} -2 & -3 & 4\\ 4 & -10 & 8\\ 6 & -7 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -2 & -3 & 4\\ 0 & -16 & 16\\ 0 & -16 & 16 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).$$

Следовательно, собственный вектор $X_{3}=(1,2,2)^{T}$.