Найти базисы образа и ядра для оператора, заданного в стандартном базисе матрицей $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 0 & 3 & -1 \end{array}\right). $$

Запишем расширенную матрицу

$$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1\\ 3 & 6 & 2\\ 0 & 3 & -1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[1]-2[3]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 1\\ -1 & 6 & 2\\ 2 & 3 & -1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[2]-5[3]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ -1 & -4 & 2\\ 2 & 8 & -1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & -5 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[2]-4[1]} $$ $$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 2\\ 2 & 0 & -1\\ \hline 1 & -4 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 3 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[3]+2[1]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 3\\ \hline 1 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 3 & -3 \end{array}\right). $$

В итоге видим, что в верхней матрице остались два линейно независимых вектора $\ell_{1}=(0,-1,2)^{T}$, $\ell_{2}=(1,0,3)^{T},$ которые и образуют базис образа оператора $A$. Нулевому вектору в верхней матрице соответствует вектор $r_{1}=(-4,1,3)^{T}$ — он образует базис ядра оператора $A$.

Для матрицы из 40.15 (в) $$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)$$ найти базис ядра и образа.

Запишем расширенную матрицу

$$\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[1]-2[3]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 2\\ -1 & -7 & 3\\ -2 & -9 & 4\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[2]+2[3]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 2\\ -1 & -1 & 3\\ -2 & -1 & 4\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{[3]+2[2]} $$ $$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ -2 & -1 & 2\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2\\ -2 & 2 & 5 \end{array}\right)\underset{\to}{[1]+[3]}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 2\\ \hline 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 5 \end{array}\right). $$

В итоге в верхней матрице остались два линейно независимых вектора ${\bf\ell_{1}}=-(1,1,1)^{T}$, ${\bf\ell_2}=(0,1,2)^{T},$ которые и образуют базис образа оператора $A$. Нулевому вектору в верхней матрице соответствует вектор ${\bf r_1}=(1,2,3)^{T}$ — он образует базис ядра оператора $A$.

Доказать, что: а) коэффициенты $c_{1},\ldots,c_{n}$ многочлена $\det(A-\lambda E)=(-\lambda)^{n}+c_{1}(-\lambda)^{n-1}+\ldots+(-\lambda)^{0}c_{n}$ являются суммами главных миноров соответствующего порядка матрицы $A$.

Рассмотрим сначала матрицы порядка 2:

$$\left|\begin{array}{cc} a_{11}-\lambda & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} -\lambda & a_{12}\\ 0 & a_{22}-\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} a_{11} & 0\\ a_{21} & -\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} -\lambda & a_{12}\\ 0 & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 0\\ 0 & -\lambda \end{array}\right|=$$

$$=\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} a_{11} & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} -\lambda & 0\\ 0 & -\lambda \end{array}\right|=(-\lambda)^{2}+(-\lambda)\left(a_{11}+a_{22}\right)+\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\lambda^{2}-\lambda\text{tr}A+\det A.$$

Рассмотрим теперь матрицы порядка 3:

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22}-\lambda & a_{23}\\ 0 & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & a_{13}\\ a_{21} & -\lambda & a_{23}\\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ a_{31} & a_{32} & -\lambda \end{array}\right|+$$

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0\\ a_{21} & -\lambda & 0\\ a_{31} & 0 & -\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & a_{12} & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0 & a_{32} & -\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & a_{13}\\ 0 & -\lambda & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & a_{13}\\ 0 & -\lambda & 0\\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0\\ 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|+$$

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 0\\ 0 & a_{22} & 0\\ 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & 0\\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} -\lambda & 0 & 0\\ 0 & -\lambda & 0\\ 0 & 0 & -\lambda \end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|-\lambda\left(\left|\begin{array}{cc} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|\right)+(-\lambda)^{2}\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right)=$$

$$\det A-\lambda\left(M_{11}(A)+M_{22}(A)+M_{33}(A)\right)+(-\lambda)^{2}\text{tr}A+(-\lambda)^{3}.$$

в) Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе матрицами:

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right).$$

$$\det(A-\lambda E)=\det A-\lambda\left(M_{11}(A)+M_{22}(A)+M_{33}(A)\right)+(-\lambda)^{2}\text{tr}A+(-\lambda)^{3}=-\lambda^{3}+\lambda^{2}=\lambda^{2}\left(1-\lambda\right)$$

Тогда собственные значения $\lambda_{1;2}=0;\lambda_{3}=1.$

Найдём теперь собственные векторы

$$\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=0\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

получаем систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{c} 4x_{1}-5x_{2}+2x_{3}=0;\\ 5x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0;\\ 3x_{1}-9x_{2}+4x_{3}=0; \end{array}\right.\to\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{3}{2} & -1\\ 1 & -\frac{1}{2} & 0 \end{array}\right)$$

В итоге получаем, что $x_{3}=\frac{3}{2}x_{2};x_{1}=\frac{1}{2}x_{2}$. Тогда собственный вектор $X_{0}=\left(1,2,3\right)^{T}$

Для $\lambda_{3}=1$

$$(A-\lambda E)X_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 2\\ 0 & -3 & 3\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Тогда собственный вектор $X_{1}=\left(1,1,1\right)^{T}$.

Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путём перехода к новому базису над полем $\mathbb{R}$ или над полем $\mathbb{C}$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & -1\\ -3 & 5 & -1\\ -3 & 3 & 1 \end{array}\right)$$

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-8\lambda+4$$

первый корень $\lambda=1$ легко угадывается. Разделим многочлены воспользовавшись схемой Горнера

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & -5 & 8 & -4\\ \hline 1 & 1 & -4 & 4 & 0 \end{array}$$

Тогда $\lambda^{3}-5\lambda^{2}+8\lambda-4=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-4\lambda+4\right)=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}$

$$(A-2E)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & 3 & -1\\ -3 & 3 & -1\\ -3 & 3 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} -3 & 3 & -1\end{array}\right)$$

Следовательно пространство двумерное, тогда можно привести к диагональному в некотором базисе

$$A'=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 7 & -5\\ -4 & 5 & 0\\ 1 & 9 & -4 \end{array}\right)$$

$$\det(A-\lambda E)=-\lambda^{3}+5\lambda^{2}-17\lambda+13$$

первый корень $\lambda=1$ легко угадывается. Разделим многочлены воспользовавшись схемой Горнера

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} & 1 & -5 & 17 & -13\\ \hline 1 & 1 & -4 & 13 & 0 \end{array}$$

Тогда $\lambda^{3}-5\lambda^{2}+17\lambda-13=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-4\lambda+13\right)$

Квадратное уравнение не имеет решение в поле вещественных чисел, значит не диагонализируемо над ним, но можно привести к диагональному виду в поле комплексных чисел. Корни многочлена $\lambda^{2}-4\lambda+13=0$

$$\lambda_{1;2}=\frac{1}{2}\left(4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot13}\right)=2\pm\sqrt{-9}=2\pm i3,$$ тогда

$$A'=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2+i3 & 0\\ 0 & 0 & 2-i3 \end{array}\right).$$