Пусть линейное отображение $A:V\to W$ в базисах $(e_{1},e_{2},e_{3})$ пространства $V$ и $(f_{1},f_{2})$ пространства $W$ имеет матрицу $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right).$$ Найти матрицу $A'$ отображения в базисах $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})=(e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3})$ и $(f'_{1},f'_{2})=(f_{1},f_{1}+f_{2})$.

Переход от $(e_{1},e_{2},e_{3})$ к $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ задается матрицей перехода $$ T_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ а переход от $(f_{1},f_{2})$ к $(f'_{1},f'_{2})$ задается матрицей перехода $$T_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right).$$ Тогда линейное отображение $Ax=y,$ где $x\in V,y\in U$ перепишем в виде $Ax=AT_{1}x'=y=T_{2}y'.$ Следовательно, из $T_{2}y'=AT_{1}x'$ умножая слева на $T_{2}^{-1}$ получим $y'=T_{2}^{-1}AT_{1}x'=A'x'$. Т.о. $$ A'=T_{2}^{-1}AT_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)= $$ $$ \left(\begin{array}{ccc} -3 & -3 & -3\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -3 & -6 & -9\\ 3 & 7 & 12 \end{array}\right). $$

Найти матрицу оператора:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\to(x_{1},x_{1}+2x_{2},x_{2}+3x_{3})$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right).$$

поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном базисе;

$x'=x\cos\alpha-y\sin\alpha$

$y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha$

следовательно

$$A=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right)$$

дифференцирования в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ в базисе $(1,x,x^{2},\ldots,x^{n})$

Многочлен $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots+a_{n}x^{n}$ после дифференцирования перейдёт в $f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots+na_{n}x^{n-1}$

т.е. $A(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})^{T}\mapsto(a_{1},2a_{2},\ldots,na_{n},0)^{T}$, тогда матрица перехода

$$ AX=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{1}\\ 2a_{2}\\ \vdots\\ na_{n}\\ 0 \end{array}\right).$$

Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,2)$ соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

Составляем матричное уравнение

$$ A\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1\\ -2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right),$$

где обратную матрицу нашли при помощи преобразований:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & X & A_{1}\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & X & A_{2}\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & X & A_{3}\\ \hline 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & X & A_{4}=A_{2}-A_{1}\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & & A_{5}=A_{3}-A_{1}\\ 1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & & A_{6}=A_{1}-A_{5}\\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 & & A_{7}=A_{4}+A_{5} \end{array}\right) $$

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ имеет в базисе $E_{1}=((8,-6,7),(-16,7,-13),(9,-3,7))$ матрицу

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -18 & 15\\ -1 & -22 & 20\\ 1 & -25 & 22 \end{array}\right).$$

Найти его матрицу в базисе $E_{2}=((1,-2,1),(3,-1,2),(2,1,2))$.

Найдём матрицу перехода из базиса $E_{1}$ в $E_{2}$:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 8 & -16 & 9 & 1 & 3 & 2 & X & A_{1}\\ -6 & 7 & -3 & -2 & -1 & 1 & X & A_{2}\\ 7 & -13 & 7 & 1 & 2 & 2 & X & A_{3}\\ \hline 1 & -6 & 4 & -1 & 1 & 3 & X & A_{4}=A_{3}+A_{2}\\ 1 & -3 & 2 & 0 & 1 & 0 & X & A_{5}=A_{1}-A_{3}\\ 0 & 8 & -7 & 1 & -5 & 2 & X & A_{6}=A_{3}-7A_{5}\\ 0 & -3 & 2 & -1 & 0 & 3 & X & A_{7}=A_{4}-A_{5}\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 & & A_{8}=A_{5}-A_{7}\\ 0 & 0 & -5 & -5 & -15 & 30 & X & A_{9}=3A_{6}+8A_{7}\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -6 & & A_{10}=-A_{9}/5\\ 0 & 3 & 0 & 3 & 6 & -15 & X & A_{11}=2A_{10}-A_{7}\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -5 & & A_{12}=A_{11}/3 \end{array}\right)$$

В итоге получили матрицу перехода от базиса $E_{1}$к базису $E_{2}$ в виде

$$T=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3\\ 1 & 2 & -5\\ 1 & 3 & -6 \end{array}\right).$$

Теперь переход к матрице оператора в базисе $E_{2}$

$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 3 & -1 & -2\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right).$$