Пусть линейное отображение $A:V\to W$ в базисах $(e_{1},e_{2},e_{3})$ пространства $V$ и $(f_{1},f_{2})$ пространства $W$ имеет матрицу $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right).$$ Найти матрицу $A'$ отображения в базисах $(e'_{1},e'_{2},e'_{3})=(e_{1},e_{1}+e_{2},e_{1}+e_{2}+e_{3})$ и $(f'_{1},f'_{2})=(f_{1},f_{1}+f_{2})$.

Решение

Найти матрицу оператора:

$(x_{1},x_{2},x_{3})\to(x_{1},x_{1}+2x_{2},x_{2}+3x_{3})$ в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ в базисе из единичных векторов;

поворота плоскости на угол $\alpha$ в произвольном ортонормированном базисе;

дифференцирования в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ в базисе $(1,x,x^{2},\ldots,x^{n})$

Решение

Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует единственный линейный оператор, переводящий векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,2)$ соответственно в векторы $(1,1,1),(0,1,0),(1,0,1)$, и найти матрицу этого оператора в базисе, состоящем из единичных векторов.

Решение

Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ имеет в базисе $E_{1}=((8,-6,7),(-16,7,-13),(9,-3,7))$ матрицу

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -18 & 15\\ -1 & -22 & 20\\ 1 & -25 & 22 \end{array}\right).$$

Найти его матрицу в базисе $E_{2}=((1,-2,1),(3,-1,2),(2,1,2))$.

Решение