Пусть векторы $e_1,e_2,e_3$ и $\mathbf x$ заданы своими координатами в некотором базисе:

а) $e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$.

Решение

Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов степени $\leq n$ с вещественными коэффициентами системы $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ и $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $, $a\in\mathbb{R}$, являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$ в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.

Решение

Доказать, что следующие совокупности векторов пространства $F^{n}$, $F$ — поле, образуют подпространства, и найти их базисы и размерности:

а) векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты;

б) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны $0$;

в) векторы, у которых координаты с чётными номерами равны между собой;

г) векторы вида $(\alpha,\beta,\alpha,\beta,\ldots)$;

д) векторы, являющиеся решениями однородной системы уравнений.

Выяснить, какие из следующих совокупностей матриц порядка $n$ над полем $F$ образуют подпространства в пространстве матриц $M_{n}(F)$, найти их базисы и размерности:

а) все матрицы;

б) симметрические матрицы;

в) кососимметрические матрицы;

г) невырожденные матрицы;

д) вырожденные матрицы;

е) матрицы со следом, равным нулю;

ж) матрицы, перестановочные с данным множеством матриц (при вычислении базиса и размерности предположить, что данное множество матриц состоит из одной диагональной матрицы с различными диагональными элементами);

з) матрицы $X$, удовлетворяющие условию $A_{i}X+XB_{i}$, где $A_{i},B_{i}$ — заданный набор матриц.

Пусть $\mathbb{R}^{s}$ пространство всех функций, определенных на множестве $S$ и принимающих вещественные значения. Выяснить, какие из следующих совокупностей функций $f(x)\in\mathbb{R}^{s}$ составляют подпространство:

а) функции, принимающие значение $a$ в данной точке $s\in S$;

б) функции, принимающие значение $a4 во всех точках некоторого подмножества $T\subseteq S$;

в) функции, обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества $S$;

г) функции, имеющие предел a при $x\to\infty$ (при $S=\mathbb{R}$);

д) функции, имеющие не более конечного числа точек разрыва (при $S=\mathbb{R}$).

Пусть $K^{\infty}$ пространство бесконечных последовательностей с элементами из поля $K$. Выяснить, какие из следующих совокупностей последовательностей составляют в $K^{\infty}$ подпространство:

а) последовательности, в которых лишь конечное число элементов отлично от нуля;

б) последовательности, в которых лишь конечное число элементов равно нулю;

в) последовательности, в которых все элементы отличны от $1$.

Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек $(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $(b_{1},b_{2},b_{3})$:

а)

$$\left\{ \begin{array}{c} a_{1}=(1,2,1)\\ a_{2}=(1,1,-1)\\ a_{3}=(1,3,3) \end{array}\right., \ \ \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=(1,2,2)\\ b_{2}=(2,3,-1)\\ b_{3}=(1,1,-3) \end{array}\right.$$

Решение

Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями

$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать, что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.

Решение

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: $$ U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . $$ Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.

Решение

Пусть $U$ — подпространство кососимметрических матриц, $V$ — подпространство верхнетреугольных матриц в $M_{n}(\mathbb{R})$.

а) Доказать, что $U\oplus V=M_{n}(\mathbb{R})$.

6) Найти проекцию матриц $E_{ij}$ на $U$ и $V$.

Пусть $x,y$ — векторы, а $\alpha,\beta$ — скаляры. Доказать, что:

а) $\alpha x=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=0$ или $x=0$;

б) $\alpha x+\beta y=\beta x+\alpha y$ тогда и только тогда, когда $\alpha=\beta$ или $x=y$.

При каких значениях $\lambda$:

а) из линейной независимости системы векторов $\left\{ a_{1},a_{2}\right\}$ вытекает линейная независимость системы $\left\{ \lambda a_{1}+a_{2},a_{1}+\lambda a_{2}\right\}$;

б) из линейной независимости системы $\left\{ a_{1},\ldots,a_{2}\right\}$ вытекает линейная независимость системы $\left\{ a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},\ldots,a_{n-1}+a_{n},a_{n}+\lambda a_{1}\right\}$?

Доказать линейную независимость над $\mathbb{R}$ систем функции:

a) $\sin x,\cos x$;

б) $1,\sin x,\cos x$;

в) $\sin x,\sin2x,\ldots,\sin nx$;

г) $1,\cos x,\cos2x,...,\cos nx$;

д) $1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,...,\cos nx,\sin nx$;

е) $1,\sin x,\sin^{2}x,\ldots,\sin^{n}x$;

ж) $1,\cos x,\cos^{2}x,...,\cos^{n}x$.