Пусть векторы $e_1,e_2,e_3$ и $\mathbf x$ заданы своими координатами в некотором базисе:

а) $e_{1}=(1,1,1);e_{2}=(1,1,2);e_{3}=(1,2,3);{\mathbf x}=(6,9,14)$.

Решение

Доказать, что в пространстве $\mathbb{R}[x]_{n}$ многочленов степени $\leq n$ с вещественными коэффициентами системы $\left\{ 1,x,\ldots,x^{n}\right\} $ и $\left\{ 1,x-a,\ldots,\left(x-a\right)^{n}\right\} $, $a\in\mathbb{R}$, являются базисами, и найти координаты многочлена $f(x)=a_{0}+xa_{1}+\ldots+x^{n}a_{n}$ в этих базисах и матрицу перехода от первого базиса ко второму.

Решение

Найти базисы суммы и пересечения линейных оболочек $(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $(b_{1},b_{2},b_{3})$:

а)

$$\left\{ \begin{array}{c} a_{1}=(1,2,1)\\ a_{2}=(1,1,-1)\\ a_{3}=(1,3,3) \end{array}\right., \ \ \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=(1,2,2)\\ b_{2}=(2,3,-1)\\ b_{3}=(1,1,-3) \end{array}\right.$$

Решение

Пусть подпространства $U,V\in\mathbb{R}^{n}$ заданы уравнениями

$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=0$, $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$. Доказать, что $U\oplus V=\mathbb{R}^{n}$, и найти проекции единичных векторов на $U$ параллельно $V$ и $V$ параллельно $U$.

Решение

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^{4}$: $$ U=\left\langle (1,1,1,1),(-1,-2,0,1)\right\rangle , V=\left\langle (-1,-1,1,-1),(2,2,0,1)\right\rangle . $$ Доказать, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, и найти проекцию вектора $\boldsymbol{x}=(4,2,4,4)$ на подпространство $U$ параллельно $V$.

Запишем матрицу и приведём её к диагональному виду $$ \left(\begin{array}{ccccc} u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ 1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ 1 & -2 & -1 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 4\\ 1 & 1 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 2 & 4\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)\to $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -1 & 2 & 6\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccccc} u_{1} & u_{2} & v_{1} & v_{2} & \boldsymbol{x}\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right). $$ в итоги получили, что $\mathbb{R}^{4}=U\oplus V$, а вектор $\boldsymbol{x}$ выражается через остальные как $x=u_{1}+2u_{2}+3v_{1}+4v_{2}$, тогда его проекция на подпространство $U$ параллельно $V$ $x|_{U}=u_{1}+2u_{2}=(1,2,0,0)$.