Задача 19.11
Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор $[A, B] = AB - BA$ — кососимметрическая матрица.
Решение
Случай 1: $A$ и $B$ симметрические. $A^T = A$, $B^T = B$. Тогда \[ [A,B]^T = (AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB - BA) = -[A,B]. \] Следовательно, $[A,B]$ кососимметрична.
Случай 2: $A$ и $B$ кососимметрические. $A^T = -A$, $B^T = -B$. Тогда \[ [A,B]^T = (AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB = -(AB - BA) = -[A,B]. \] Опять получаем кососимметричность.
Таким образом, в обоих случаях коммутатор $[A,B]$ является кососимметрической матрицей. Что и требовалось доказать.