### 18.8. С помощью присоединённой матрицы найти обратную к матрице

а) $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Определитель: $\det A = 1\cdot1 - 3\cdot0 = 1$. Алгебраические дополнения: $A_{11}=1,\; A_{12}=0,\; A_{21}=-3,\; A_{22}=1$. Присоединённая матрица: $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Обратная матрица: $$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$

—

б) $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}.$$ $\det A = 1\cdot2 - 0\cdot3 = 2$. Алгебраические дополнения: $A_{11}=2,\; A_{12}=-3,\; A_{21}=0,\; A_{22}=1$. Присоединённая: $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.$$ Обратная: $$A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}$

—

в) $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}.$$ $\det A = 1\cdot5 - 2\cdot3 = 5-6 = -1$. Алгебраические дополнения: $A_{11}=5,\; A_{12}=-3,\; A_{21}=-2,\; A_{22}=1$. Присоединённая: $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.$$ Обратная: $$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}}$

—

г) $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}.$$ $\det A = 1\cdot7 - 3\cdot2 = 7-6 = 1$. Алгебраические дополнения: $A_{11}=7,\; A_{12}=-2,\; A_{21}=-3,\; A_{22}=1$. Присоединённая: $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.$$ Обратная: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$

—

д) $$A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$ $\det A = 5 \cdot 3 \cdot (-2) = -30$. Алгебраические дополнения (для диагональной матрицы): $A_{11} = 3 \cdot (-2) = -6$, $A_{22} = 5 \cdot (-2) = -10$, $A_{33} = 5 \cdot 3 = 15$, остальные равны $0$. Присоединённая: $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} -6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 15 \end{pmatrix}.$$ Обратная: $$A^{-1} = \frac{1}{-30}\begin{pmatrix} -6 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$

—

е) $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ $\det A = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ (треугольная матрица). Вычислим алгебраические дополнения: $A_{11} = \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1$, $A_{12} = -\begin{vmatrix}0&0\\3&1\end{vmatrix}=0$, $A_{13} = \begin{vmatrix}0&1\\3&0\end{vmatrix}= -3$, $A_{21} = -\begin{vmatrix}0&0\\0&1\end{vmatrix}=0$, $A_{22} = \begin{vmatrix}1&0\\3&1\end{vmatrix}=1$, $A_{23} = -\begin{vmatrix}1&0\\3&0\end{vmatrix}=0$, $A_{31} = \begin{vmatrix}0&0\\1&0\end{vmatrix}=0$, $A_{32} = -\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}=0$, $A_{33} = \begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1$. Матрица алгебраических дополнений: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Транспонируем (присоединённая): $$\operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Обратная: $$A^{-1} = \operatorname{adj} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Ответ: $\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$