### 18.3. Решить матричные уравнения
а) $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
Матрица \(A = \begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}\) имеет определитель \(\det A = 1\cdot2 - 3\cdot1 = -1 \neq 0\), следовательно, она обратима. Обратная матрица: $$A^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix}2 & -3 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.$$ Тогда $$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}-2 & 3 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2+3 & -2+3 \\ 1-1 & 1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}.$$ Проверка: $$\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$
Ответ: $$\boxed{X = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$$
—
б) $$X \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$
Матрица \(A = \begin{pmatrix}-1&1\\-3&-4\end{pmatrix}\) имеет определитель \(\det A = (-1)(-4) - 1\cdot(-3) = 4+3=7 \neq 0\), обратима. Обратная матрица: $$A^{-1} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}-4 & -1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.$$ Тогда $$X = B A^{-1} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}-2&-1\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4&-1\\3&-1\end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}(-2)(-4)+(-1)\cdot3 & (-2)(-1)+(-1)(-1)\\ 3(-4)+4\cdot3 & 3(-1)+4(-1)\end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}8-3 & 2+1 \\ -12+12 & -3-4\end{pmatrix} = \frac{1}{7}\begin{pmatrix}5&3\\0&-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac57 & \frac37 \\ 0 & -1\end{pmatrix}.$$ Проверка: $$\begin{pmatrix}\frac57 & \frac37 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-3&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac57-\frac97 & \frac57-\frac{12}{7} \\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&-1\\3&4\end{pmatrix}.$$
Ответ: $$\boxed{X = \begin{pmatrix}\frac57 & \frac37 \\ 0 & -1\end{pmatrix}}$$
—
в) $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.$$
Матрица \(A = \begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix}\) вырождена, так как \(\det A = 2\cdot(-2) - (-1)\cdot4 = -4+4=0\). Пусть \(X = \begin{pmatrix}x & y \\ z & t\end{pmatrix}\). Тогда уравнение даёт систему: $$\begin{cases} 2x - z = 1, \\ 2y - t = 3, \\ 4x - 2z = 2, \\ 4y - 2t = 6. \end{cases}$$ Вторые два уравнения являются следствиями первых, поэтому решение существует и имеет вид: $$z = 2x - 1,\quad t = 2y - 3,$$ где \(x, y\) — произвольные действительные числа.
Ответ: $$\boxed{X = \begin{pmatrix}x & y \\ 2x-1 & 2y-3\end{pmatrix},\quad x,y\in\mathbb{R}}$$
—
г) $$X \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}.$$
Матрица \(A = \begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix}\) вырождена. Пусть \(X = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\). Тогда $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a+4b & -a-2b \\ 2c+4d & -c-2d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&3\\6&2\end{pmatrix}.$$ Получаем две независимые системы: \[ \begin{cases} 2a+4b = 1, \\ -a-2b = 3 \end{cases} \quad\text{и}\quad \begin{cases} 2c+4d = 6, \\ -c-2d = 2. \end{cases} \] Умножая второе уравнение первой системы на 2: \(-2a-4b = 6\), и складывая с первым, получаем \(0 = 7\) — противоречие. Аналогично вторая система даёт \(0 = 10\). Следовательно, решений нет.
Ответ: $$\boxed{\text{решений нет}}$$
—
д) $$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.$$
Матрицы \(A = \begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\) и \(B = \begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix}\) обратимы, так как \(\det A = 1\), \(\det B = -1\). Находим обратные: $$A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix},\quad B^{-1} = \begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix}.$$ Тогда $$X = A^{-1} C B^{-1}, \quad C = \begin{pmatrix}3&3\\2&2\end{pmatrix}.$$ Сначала $$A^{-1}C = \begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&3\\2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-2 & 3-2 \\ -6+6 & -6+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}.$$ Затем $$X = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+1 & 3-1 \\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&2\\0&0\end{pmatrix}.$$ Проверка: $$A X B = \begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3&6\\-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&3\\2&2\end{pmatrix}.$$
Ответ: $$\boxed{X = \begin{pmatrix}-1&2\\0&0\end{pmatrix}}$$
—
е) $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8 \end{pmatrix}.$$
Матрица \(A = \begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix}\) имеет определитель \(\det A = 1\) (вычислен по правилу треугольника), следовательно, обратима. Находим \(A^{-1}\) методом алгебраических дополнений: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 3 & -2 \\ -8 & 6 & -5 \\ -7 & 5 & -4 \end{pmatrix}.$$ Тогда $$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -4 & 3 & -2 \\ -8 & 6 & -5 \\ -7 & 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8 \end{pmatrix}.$$ Вычисляем произведение: - Первая строка: \(x_{11} = -4\cdot1 + 3\cdot10 -2\cdot10 = -4+30-20 = 6\) \(x_{12} = -4\cdot(-3) + 3\cdot2 -2\cdot7 = 12+6-14 = 4\) \(x_{13} = -4\cdot0 + 3\cdot7 -2\cdot8 = 0+21-16 = 5\) - Вторая строка: \(x_{21} = -8\cdot1 + 6\cdot10 -5\cdot10 = -8+60-50 = 2\) \(x_{22} = -8\cdot(-3) + 6\cdot2 -5\cdot7 = 24+12-35 = 1\) \(x_{23} = -8\cdot0 + 6\cdot7 -5\cdot8 = 0+42-40 = 2\) - Третья строка: \(x_{31} = -7\cdot1 + 5\cdot10 -4\cdot10 = -7+50-40 = 3\) \(x_{32} = -7\cdot(-3) + 5\cdot2 -4\cdot7 = 21+10-28 = 3\) \(x_{33} = -7\cdot0 + 5\cdot7 -4\cdot8 = 0+35-32 = 3\) Итак, $$X = \begin{pmatrix}6&4&5\\2&1&2\\3&3&3\end{pmatrix}.$$ Проверка: $$A X = \begin{pmatrix}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&4&5\\2&1&2\\3&3&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-3&0\\10&2&7\\10&7&8\end{pmatrix}.$$
Ответ: $$\boxed{X = \begin{pmatrix}6&4&5\\2&1&2\\3&3&3\end{pmatrix}}$$