Задача 17.10
Условие. Вычислить \(e^A\), где:
а) \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}; \]
б) \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Решение.
а)
Матрица \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}\). Найдём её степени: \[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-4 & 2-2 \\ -8+8 & -4+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Таким образом, \(A^2 = 0\), и все последующие степени равны нулю. Тогда матричная экспонента представляется конечной суммой: \[ e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \dots = I + A. \] \[ e^A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}. \]
б)
Матрица \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Вычислим её степени: \[ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Матрица нильпотентна индекса 3 (\(A^3 = 0\)). Экспонента раскладывается в ряд, обрывающийся на \(A^2\): \[ e^A = I + A + \frac{A^2}{2!}. \] \[ e^A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] \[ e^A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2+3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
Ответ: \[ \text{а) } e^A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}; \qquad \text{б) } e^A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]