Даны два вектора: $a_1 = \{4, 4, 6, 8\}$, $a_2 = \{1, 2, 3, 4\}$. Дополнить эту систему до базиса всего пространства базисными векторами $e_1 = \{1, 0, 0, 0\}$, $e_2 = \{0, 1, 0, 0\}$, $e_3 = \{0, 0, 1, 0\}$, $e_4 = \{0, 0, 0, 1\}$ и выразить через векторы нового базиса не вошедшие в него векторы старого базиса.

Векторы $a_1$ и $a_2$ линейно независимы, так как не пропорциональны. Выберем два вектора из стандартного базиса так, чтобы вместе с $a_1$ и $a_2$ они образовали базис $\mathbb{R}^4$. Проверим, что векторы $a_1$, $a_2$, $e_3$, $e_4$ линейно независимы. Составим матрицу из этих векторов-столбцов: $$ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ Определитель этой матрицы равен определителю верхнего левого блока $2\times2$: $$ \det\begin{pmatrix}4 & 1\\4 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-1\cdot4=8-4=4\neq0. $$ Следовательно, векторы $a_1$, $a_2$, $e_3$, $e_4$ линейно независимы и образуют базис. В новый базис не вошли $e_1$ и $e_2$. Найдём их разложение по новому базису.

Для $e_1 = (1,0,0,0)$: Ищем коэффициенты $x,y,z,w$ такие, что $$ e_1 = x a_1 + y a_2 + z e_3 + w e_4. $$ В координатной форме получаем систему: \[ \begin{cases} 4x + y = 1, \\ 4x + 2y = 0, \\ 6x + 3y + z = 0, \\ 8x + 4y + w = 0. \end{cases} \] Из первых двух уравнений вычитаем: $(4x+2y)-(4x+y)=0-1 \Rightarrow y=-1$. Тогда $4x-1=1 \Rightarrow x=\frac12$. Подставляем в третье: $6\cdot\frac12 +3\cdot(-1)+z = 3-3+z=0 \Rightarrow z=0$. Из четвёртого: $8\cdot\frac12+4\cdot(-1)+w =4-4+w=0 \Rightarrow w=0$. Таким образом, $$ e_1 = \frac12 a_1 - a_2. $$

Для $e_2 = (0,1,0,0)$: Аналогично ищем $x,y,z,w$: \[ \begin{cases} 4x + y = 0, \\ 4x + 2y = 1, \\ 6x + 3y + z = 0, \\ 8x + 4y + w = 0. \end{cases} \] Из первых двух: $(4x+2y)-(4x+y)=1-0 \Rightarrow y=1$. Тогда $4x+1=0 \Rightarrow x=-\frac14$. Третье: $6\cdot(-\frac14)+3\cdot1+z = -1.5+3+z=1.5+z=0 \Rightarrow z=-\frac32$. Четвёртое: $8\cdot(-\frac14)+4\cdot1+w = -2+4+w=2+w=0 \Rightarrow w=-2$. Получаем $$ e_2 = -\frac14 a_1 + a_2 - \frac32 e_3 - 2 e_4. $$

Новый базис составляют векторы $a_1$, $a_2$, $e_3$, $e_4$. Выражения для не вошедших векторов стандартного базиса: \[ \boxed{e_1 = \frac12 a_1 - a_2}, \quad \boxed{e_2 = -\frac14 a_1 + a_2 - \frac32 e_3 - 2 e_4}. \]